如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為菱形,∠BAD=60°,Q為AD的中點(diǎn),PA=PD=AD=2.
(1)求證:AD⊥平面PQB;
(2)若PM=
1
3
PC,平面PAD⊥平面ABCD,求二面角M-BQ-C的大。
考點(diǎn):二面角的平面角及求法,直線與平面垂直的判定
專題:空間位置關(guān)系與距離,空間角
分析:(1)連結(jié)BD,由已知得△ABD是正三角形,AD⊥BQ,由等腰三角形性質(zhì)得AD⊥PQ,由此能證明AD⊥平面PQB.
(2)以Q為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以QA,QB,QP所在直線為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系Q-xyz,求出平面MQB的法向量和平面ABCD的法向量,由此利用向量法能求出二面角M-BQ-C的大。
解答: (1)證明:連結(jié)BD,∵四邊形ABCD是菱形,∠BAD=60°,
∴△ABD是正三角形,又Q為AD中點(diǎn),∴AD⊥BQ,
∵PA=PD,Q為AD的中點(diǎn),
∴AD⊥PQ,又BQ∩PQ=Q,∴AD⊥平面PQB.
(2)解:∵PQ⊥AD,又平面PAD⊥平面ABCD,
以Q為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以QA,QB,QP所在直線為x,y,z軸,
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Q-xyz,
由PA=PD=AD=2,則B(0,
3
,0),C(-2,
3
,0),
P(0,0,
3
),設(shè)M(a,b,c),
PM
=(a,b,c-
3
),
PC
=(-2,
3
,-
3
),
∵PM=
1
3
PC
,∴
PM
=
1
3
PC
,
∴a=-
2
3
,b=
3
3
,c=
2
3
3
,∴M(-
2
3
3
3
,
2
3
3
),
設(shè)平面MQB的法向量
n
=(x,y,z),
QM
=(-
2
3
3
3
2
3
3
),
QB
=(0,
3
,0),
n
QM
,
n
QB
,得
-
2
3
x+
2
3
3
z=0
3
y=0
,
取z=1,得
n
=(
3
,0,1
),
又平面ABCD的法向量
m
=(0,0,1),
∴cos<
m
,
n
>=
m
n
|
m
|•|
n
|
=
1
2

由圖知二面角M-BQ-C的平面角為銳角,
∴二面角M-BQ-C的大小為60°.
點(diǎn)評(píng):本題考查線面垂直的證明,考查二面角的大小的求法,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意向量法的合理運(yùn)用,是中檔題.
練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

對于c>0,當(dāng)非零實(shí)數(shù)a、b滿足a2-2ab+2b2=c且使|a+b|最大時(shí),
3
a
-
4
b
+
5
c
的最小值為
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

計(jì)算:(x1-x2)+(x2-x1)(x1x2)=
 

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已知向量
a
b
的夾角是120°,|
a
|=3,|
a
+
b
|=
13
,則|
b
|=
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知數(shù)列{xn}滿足x1=
1
2
,且xn+1=
xn
2-xn
,(n∈N+
(1)用數(shù)學(xué)歸納證明:0<xn<1
(2)設(shè)an=
1
xn
,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=(1-tan
x
2
)[1+
2
sin(x+
π
4
)].
(1)求f(
π
6
)的值;
(2)若2sinα+f(α)=
4
3
,求
2
sin(2α-
π
4
)+1
1+tanα
的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在四棱錐P-ABCD中,
AB
=(4,-2,3),
AD
=(-4,1,0),
AP
=(-6,2,-8),則這個(gè)四棱錐的高h(yuǎn)等于( 。
A、1B、2C、13D、26

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

調(diào)查表明,中年人的成就感與收入、學(xué)歷、職業(yè)的滿意度的指標(biāo)有極強(qiáng)的相關(guān)性.現(xiàn)將這三項(xiàng)的滿意度指標(biāo)分別記為x,y,z,并對它們進(jìn)行量化:0表示不滿意,1表示基本滿意,2表示滿意,再用綜合指標(biāo)w=x+y+z的值評(píng)定中年人的成就感等級(jí):若w≥4,則成就感為一級(jí);若2≤w≤3,則成就感為二級(jí);若0≤w≤1,則成就感為三級(jí).為了了解目前某群體中年人的成就感情況,研究人員隨機(jī)采訪了該群體的10名中年人,得到如下結(jié)果:
人員編號(hào)A1A2A3A4A5
(x,y,z)(1,1,2)(2,1,1)(2,2,2)(0,1,1)(1,2,1)
人員編號(hào)A6A7A8A9A10
(x,y,z)(1,2,2)(1,1,1)(1,2,2)(1,0,0)(1,1,1)
(Ⅰ)若該群體有200人,試估計(jì)該群體中成就感等級(jí)為三級(jí)的人數(shù)是多少?
(Ⅱ)從成就感等級(jí)為一級(jí)的被采訪者中隨機(jī)抽取兩人,這兩人的綜合指標(biāo)w均為4的概率是多少?

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

cos
π
3
-tan
π
4
+
3
4
tan2
π
6
-sin
π
6
+cos2
π
6

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同步練習(xí)冊答案