【題目】定義:若數(shù)列中存在,其中,,,,及均為正整數(shù),且(),則稱數(shù)列為“數(shù)列”.
(1)若數(shù)列的前項和,求證:是“數(shù)列”;
(2)若是首項為1,公比為的等比數(shù)列,判斷是否是“數(shù)列”,說明理由;
(3)若是公差為()的等差數(shù)列且(),,求證:數(shù)列是“數(shù)列”.
【答案】(1)證明見解析;(2)是“數(shù)列”;(3)證明見解析.
【解析】
(1)取特殊值,即可判斷;
(2)利用反證法,設(shè)假設(shè)是“數(shù)列”,則存在,由絕對值不等式的性質(zhì)可得,即假設(shè)不成立,得證;
(3)由等差數(shù)列前項和公式及通項公式,分情況取特殊值即可.
解:(1)由數(shù)列的前項和,所以,所以是“數(shù)列”;
(2)不是“數(shù)列”,理由如下:假設(shè)是“數(shù)列”,則存在,其中且及均為正整數(shù),且(), 因為,則,
所以,
所以,與假設(shè)矛盾,即假設(shè)不成立;
(3)任取中的項,其各項的和構(gòu)成的集合為,
下面證明,
因為,所以,即,
若,則取,得,
若,則前項和為
取,有,即,
綜上:數(shù)列是“數(shù)列”.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某圓柱的高為2,底面周長為16,其三視圖如圖所示,圓柱表面上的點在正視圖上的對應(yīng)點為,圓柱表面上的點在左視圖上的對應(yīng)點為,則在此圓柱側(cè)面上,從到的路徑中,最短路徑的長度為( )
A. B. C. D. 2
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【題目】已知橢圓:的左、右點分別為點在橢圓上,且
(1)求橢圓的方程;
(2)過點(1,0)作斜率為的直線交橢圓于M、N兩點,若求直線的方程;
(3)點P、Q為橢圓上的兩個動點,為坐標(biāo)原點,若直線的斜率之積為求證:為定值.
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【題目】近年來,某市為促進生活垃圾的分類處理,將生活垃圾分為廚余垃圾、可回收物和其他垃圾三類,并分別設(shè)置了相應(yīng)的垃圾箱.為調(diào)查居民生活垃圾分類投放情況,現(xiàn)隨機抽取了該市三類垃圾箱中總計1000t生活垃圾.經(jīng)分揀以后數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下表(單位:):根據(jù)樣本估計本市生活垃圾投放情況,下列說法錯誤的是( )
廚余垃圾”箱 | 可回收物”箱 | 其他垃圾”箱 | |
廚余垃圾 | 400 | 100 | 100 |
可回收物 | 30 | 240 | 30 |
其他垃圾 | 20 | 20 | 60 |
A.廚余垃圾投放正確的概率為
B.居民生活垃圾投放錯誤的概率為
C.該市三類垃圾箱中投放正確的概率最高的是“可回收物”箱
D.廚余垃圾在“廚余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量的方差為20000
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【題目】如圖,在路邊安裝路燈:路寬米,燈桿長米,且與燈柱成120°角,路燈采用錐形燈罩,燈罩軸線與燈桿垂直且正好通過道路路面的中線.
(1)求燈柱高的長度(精確到0.01米);
(2)若該路燈投射出的光成一個圓錐體,該圓錐體母線與軸線的夾角是30°,寫出路燈在路面上投射出的截面圖形的邊界是什么曲線?寫出其相應(yīng)的幾何量(精確到0.01米).
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【題目】設(shè),
(1)當(dāng)時,求在上的最大值和最小值;
(2)當(dāng)時,過點作函數(shù)的圖象的切線,求切線方程.
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【題目】已知函數(shù)(),數(shù)列滿足,,數(shù)列滿足.
(1)求證:數(shù)列是等差數(shù)列;
(2)設(shè)數(shù)列滿足(),且中任意連續(xù)三項均能構(gòu)成一個三角形的三邊長,求的取值范圍;
(3)設(shè)數(shù)列滿足(),求的前項和.
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【題目】如圖,上海迪士尼樂園將一三角形地塊的一角開辟為游客體驗活動區(qū),已知,、的長度均大于米,設(shè),,且、總長度為米.
(1)當(dāng)、為何值時,游客體驗活動區(qū)的面積最大,并求最大面積?
(2)當(dāng)、為何值時,線段最小,并求最小值?
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【題目】已知兩個不相等的非零向量,,兩組向量,,,,和,,,,,均由2個和3個排列而成,記,表示S所有可能取值中的最小值,則下列命題正確的是________.(寫出所有正確命題的編號)
①S有5個不同的值;②若,則與無關(guān);③若,則與無關(guān);④若,則;⑤若,,則與的夾角為.
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