Question

6．已知極坐標(biāo)系的極點與直角坐際系的原點重合，極軸與x軸的正半軸重合．曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-2\sqrt{3}+t}\\{y=-4+\sqrt{3}t}\end{array}\right.$，（t為參數(shù)），曲線E的極坐際方程為$\sqrt{3}$ρcosθ+2ρsinθ=-5，θ∈[0，2π）．
（1）求曲線C與曲線E的普通方程；
（2）求曲線C與曲線E的交點的極坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）由直線l：$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）消去參數(shù)t，可得普通方程；利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$即可把曲線E化為直角坐標(biāo)方程；
（2）聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}x-y+2=0}\\{\sqrt{3}x+2y+5=0}\end{array}\right.$，解得交點坐標(biāo)，利用$\left\{\begin{array}{l}{ρ=\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}\\{tanθ=\frac{y}{x}}\end{array}\right.$及其點所在的象限即可得出．

解答 解：（1）曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-2\sqrt{3}+t}\\{y=-4+\sqrt{3}t}\end{array}\right.$，（t為參數(shù)），消去參數(shù)t可得：$\sqrt{3}x$-y+2=0．
曲線E的極坐際方程為$\sqrt{3}$ρcosθ+2ρsinθ=-5，θ∈[0，2π），可得$\sqrt{3}x+2y+5=0$．
（2）聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}x-y+2=0}\\{\sqrt{3}x+2y+5=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\sqrt{3}}\\{y=-1}\end{array}\right.$，
∴$ρ=\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$=2，sinθ=$-\frac{1}{2}$，cosθ=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
可得θ=$\frac{7π}{6}$．
∴交點的極坐標(biāo)$（2，\frac{7π}{6}）$．

點評 本題考查了極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程、直線相交問題，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．