16.設不等式$\sqrt{x}$+$\sqrt{y}$≤a$\sqrt{x+y}$對一切x>0,y>0恒成立,求實數(shù)a的最小值.

分析 原題即a≥$\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{x+y}}$對一切x>0,y>0恒成立.設A=$\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{x+y}}$,可得:A2=$\frac{x+y+2\sqrt{xy}}{x+y}$=1+$\frac{2\sqrt{xy}}{x+y}$≤2,即可得出.

解答 解:原題即a≥$\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{x+y}}$對一切x>0,y>0恒成立.
設A=$\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{x+y}}$,
A2=$\frac{x+y+2\sqrt{xy}}{x+y}$=1+$\frac{2\sqrt{xy}}{x+y}$≤2,
當x=y時等號成立,∵A>0,
∴0<A≤$\sqrt{2}$.即A有最大值$\sqrt{2}$.
∴當a≥$\sqrt{2}$時,$\sqrt{x}$+$\sqrt{y}$≤a$\sqrt{x+y}$對一切x>0,y>0成立.
∴a的最小值為$\sqrt{2}$.

點評 本題考查了基本不等式的性質(zhì),考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.

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