Question

已知定義在R上的偶函數(shù)y=f（x）滿足：①f（x）=f（2-x）；②當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f（x）=x²
（1）求f（5.5）的值；
（2）證明：x∈R時(shí)，f（x+2）=f（x）

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用,函數(shù)的周期性

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由偶函數(shù)y=f（x）和①f（x）=f（2-x）推出函數(shù)的周期為2，將f（5.5）轉(zhuǎn)化為f（0.5），再由條件②，即可得到結(jié)果；
（2）運(yùn)用偶函數(shù)y=f（x）和①f（x）=f（2-x）即可推出函數(shù)的周期為2．

解答： （1）解：∵f（x）=f（2-x）
即f（-x）=f（2+x）
又∵f（x）為偶函數(shù)，
∴f（-x）=f（x）
∴f（x+2）=f（x）
∴f（x）是周期為2的函數(shù)．
∴f（5.5）=f（5.5-6）=f（-0.5）=f（0.5）
又0≤x≤1時(shí) f（x）=x²
∴f（0.5）=

1

4

即f（5.5）=

1

4

；
（2）證明：∵f（x）=f（2-x）
即f（-x）=f（2+x）
又∵f（x）為偶函數(shù)，
∴f（-x）=f（x）
∴f（x+2）=f（x）．
即x∈R時(shí)，f（x+2）=f（x）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的周期性和奇偶性及其運(yùn)用，同時(shí)考查解決抽象函數(shù)的常用方法：賦值或賦式，應(yīng)掌握．