Question

已知函數(shù)y=Asin（ωx+φ）+b（A＞0，ω＞0，|φ|≤π），當(dāng)x=

π

6

時(shí)，y取最小值1；此函數(shù)的最小正周期為

4π

3

，最大值為5．
（1）求出此函數(shù)的解析式；
（2）寫出此函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換,由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）由函數(shù)的最值求得 A、B的值，由周期求得ω=

3

2

，再根據(jù)特殊點(diǎn)的坐標(biāo)求得φ的值，可得函數(shù)的解析式．
（2）令2kπ-

π

2

≤

3

2

x-

3π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得x的范圍，可得函數(shù)的增區(qū)間，同理由2kπ+

π

2

≤

3

2

x-

3π

4

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，求得函數(shù)的減區(qū)間．

解答： 解：（1）由題意可得 A=1，T=

2π

ω

=

4π

3

，∴ω=

3

2

，
再根據(jù)A=

5-1

2

=2，b=5-2=3，故函數(shù)y=3sin（

3

2

x+φ）+3．
再根據(jù)x=

π

6

時(shí)，y取最小值1，可得2sin（

3

2

×

π

6

+φ）+3=1，
∴sin（

3

2

×

π

6

+φ）=-1．
結(jié)合|φ|≤π，可得φ=-

3π

4

，
∴函數(shù)y=3sin（

3

2

x-

3π

4

）+3．
（2）令2kπ-

π

2

≤

3

2

x-

3π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得

4kπ

3

+

π

6

≤x≤

4kπ

3

+

5π

6

，
故函數(shù)的增區(qū)間為[

4kπ

3

+

π

6

，

4kπ

3

+

5π

6

]，k∈z．
同理，由2kπ+

π

2

≤

3

2

x-

3π

4

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，求得函數(shù)的減區(qū)間為[

4kπ

3

+

5π

6

，

4kπ

3

+

3π

2

]，k∈z．

點(diǎn)評：本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，屬于基礎(chǔ)題．