橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為
ab
a2+b2
的圓C1定義為橢圓C的“友好圓”．若橢圓C的離心率為e=
6
3
，且其短軸上的一個端點(diǎn)到右焦點(diǎn)F的距離為
3
．
（1）求橢圓C的方程及其“友好圓”圓C1的方程．
（2）過橢圓中心O的兩條弦PR與QS互相垂直，試探討四邊形PQRS與圓C1的位置關(guān)系；
（3）在（2）條件下，求四邊形PQRS面積的取值范圍．
考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題
專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題
分析：（1）通過橢圓離心率和短軸上的一個端點(diǎn)到右焦點(diǎn)F的距離為
3
，即可求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，進(jìn)而求出其“友好圓”方程．
（2）設(shè)直線QS的方程為y=kx，利用已知條件建立k的等式，財利用方程的基礎(chǔ)知識進(jìn)行化簡．
（3）在（2）的基礎(chǔ)上求內(nèi)接菱形PQRS的面積的取值范圍，當(dāng)QS的斜率存在且不為0時，先求出S12=
36(k+
1
k
)2
3(k2+
1
k2
)+10
，記k+
1
k
=t，由此能求出四邊形PQRS面積的取值范圍．
解答： 解：（1）由題意知a=
b2+c2
=
3
，e=
c
a
=
6
3
，
解得c=
2
，b=1，
∴橢圓C的方程為
x2
3
+y2=1，
設(shè)圓C1的半徑為r，則r2=
3×1
3+1
=
3
4
，
∴圓C1的方程為x2+y2=
3
4
．
（2）∵過橢圓的兩條弦PR與QS互相垂直，
∴由圖形的對稱性知四邊形PQRS為菱形，
即研究橢圓的任意內(nèi)接菱形PQRS與圓C1的位置關(guān)系，
只需求原點(diǎn)到菱形PQRS每一條邊的距離即可，
當(dāng)QS的斜率不存在或斜率為0時，
菱形PQRS的四個頂點(diǎn)分別是橢圓的頂點(diǎn)，
原點(diǎn)到每條邊的距離都是
ab
a2+b2
=
3
2
，
此時菱形PQRS與圓C1相切，
當(dāng)QS的存在且不為0時，設(shè)QS的斜率為k，不妨設(shè)k＞0，
直線QS的方程為y=kx，代入橢圓
x2
3
+y2=1，得x2=
3
3k2+1
，
菱形PQRS的四個頂點(diǎn)必然分別在四個象限中，
不妨設(shè)S，P，Q，R依次在第一、二、三、四象限，則有S（
3
3k2+1
，
3
k
3k2+1
），
將點(diǎn)S坐標(biāo)中的k換成-
1
k
，得P（-
3
k
3+k2
，
3
k
3+k2
），
∴|SP|2=（
3
3k2+1
+
3
k
3+k2
）2+（
3
k
3k2+1
-
3
3+k2
）2=
12(k2+1)2
(3k2+1)(3+k2)
，
又|OS|2=
3(k2+1)
3k2+1
，|OP|2=
3(k2+1)
3+k2
，
記原點(diǎn)O到直線SP的距離為d，
同時可求得原點(diǎn)O到PQ，QR，RS的距離都是
3
2
=r
∴四邊形PQRS與圓C1相切．
（3）記菱形PQRS的面積為S1，當(dāng)QS的斜率為0時，
菱形PQRS的四個頂點(diǎn)分別為橢圓的四個頂點(diǎn)，S1=2ab=2
3
，
當(dāng)QS的斜率存在且不為0時，設(shè)QS的斜率為k，不妨設(shè)k＞0，
直線QS的方程為y=kx，代入橢圓G的方程
x2
3
+y2=1，
得
x2
3
+y2=1，得x2=
3
3k2+1
，
由（2）知|OS|2=
3(k2+1)
3k2+1
，|OP|2=
3(k2+1)
3+k2
，
S1=2|OS|•|OP|，
∴S12=4|OS|2•|OP|2=4•
3(k2+1)
3k2+1
•
3(k2+1)
3+k2
，
分子、分母同時除以k2，得S12=4•
3(k2+1)
3k2+1
•
3(k2+1)
3+k2

=
36(k+
1
k
)2
3(k2+
1
k2
)+10
，記k+
1
k
=t，
則t≥2，k2+
1
k2
=t2-2，
則S12=
36(k+
1
k
)2
3(k2+
1
k2
)+10
=
36t2
3t2+4
=
36
3+
4
t2
，
S12在t∈（2，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，3+
4
t2
∈（3，4]，
S12=
36
3+
4
t2
∈[9，12），
則S1∈[3，2
3
）．
綜上所述，四邊形PQRS面積的取值范圍為[3，2
3
]．
點(diǎn)評：本題考查橢圓的方程及其“友好圓”的方程的求法，試探討四邊形PQRS與圓C1的位置關(guān)系，考查四邊形PQRS面積的取值范圍的求法．解題時要認(rèn)真審題，注意函數(shù)的單調(diào)性的合理運(yùn)用．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
1
2
，且過點(diǎn)（-
2
6
3
，1）．
（1）求橢圓E的方程；
（2）過橢圓的右焦點(diǎn)F作兩條直線分別與橢圓交于A，C與B，D，若
AC
•
BD
=0，求四邊形ABCD面積的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}是首項a1=1的等比數(shù)列，其前n項和為Sn，且S3，S2，S4成等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式．
（2）若bn=log2|an|，（n∈N+），設(shè)Tn為數(shù)列{
bn+1
|an|
}的前n項和，求證：Tn＜4．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，上頂點(diǎn)為A，點(diǎn)B滿足
BF1
=
F1F2
且
AB
•
AF2
=0．
（Ⅰ）求橢圓C的離心率；
（Ⅱ）P是過A、B、F2三的圓上的點(diǎn)，若△AF1F2的面積為
3
，求P到直線l：x-
3
y-3=0距離的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)y=Asin（ωx+φ）+b（A＞0，ω＞0，|φ|≤π），當(dāng)x=
π
6
時，y取最小值1；此函數(shù)的最小正周期為
4π
3
，最大值為5．
（1）求出此函數(shù)的解析式；
（2）寫出此函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知公差不為0的等差數(shù)列{an}，首項a1=1，且a1，a2，a4成等比數(shù)列，
（1）求等差數(shù)列{an}的通項公式an；
（2）若從數(shù)列{an}中抽出部分項：a1，a2，a4，…，a 2n-1，…構(gòu)成一個新的數(shù)列{a 2n-1}，n∈N*，證明：數(shù)列{a 2n-1}，n∈N*為等比數(shù)列；
（3）求和：a1+a2+a4+…+a 2n-1（n∈N*）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

有一條光線從點(diǎn)A（-2，1）出發(fā)，經(jīng)x軸反射后經(jīng)過點(diǎn)B（3，4），求：
（1）反射光線所在直線的方程．
（2）反射光線所在直線是否平分圓x2+y2-10x-12y+60=0？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f（x）=2x3-6x2+m（m為常數(shù)）在[-2，2]上有最大值3，那么此函數(shù)在[-2，2]上的最小值是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知動點(diǎn)M（x，y）到直線l：x=4的距離是它到點(diǎn)M（1，0）的距離的2倍．求動點(diǎn)M的軌跡C的方程．

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同步練習(xí)冊答案