Question

已知函數(shù)f(x)=cos(2x+

π

3

)+2sin2x．
（1）求函數(shù)f（x）在x∈[-π，0]上的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）若在x∈[0，

π

2

]上，總存在x₀使得f（x₀）+m＞0成立，求m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：計(jì)算題,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）利用三角函數(shù)中的恒等變換可求得f（x）=-sin（2x+

π

6

）+1，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性可求得函數(shù)y=f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間，繼而可得x∈[-π，0]時(shí)函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）x∈[0，

π

2

]⇒2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]⇒sin（2x+

π

6

）∈[-

1

2

，1]，于是可求得f（x）_max=

3

2

，依題意，

3

2

+m＞0，從而可求得m的取值范圍．

解答： 解：（1）∵f（x）=cos2xcos

π

3

-sin2xsin

π

3

+1-cos2x
=-sin（2x+

π

6

）+1，
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

（k∈Z），得：kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

（k∈Z），
∵x∈[-π，0]，
∴函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為[-π，-

5π

6

]和[-

π

3

，0]，
（2）∵x∈[0，

π

2

]時(shí)，2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，
∴sin（2x+

π

6

）∈[-

1

2

，1]，
∴f（x）_max=

3

2

，依題意，

3

2

+m＞0，
解得：m＞-

3

2

．
∴m的取值范圍為（-

3

2

，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)中的恒等變換，著重考查正弦函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查理解與運(yùn)算能力，屬于中檔題．