Question

已知向量

a

=（sinθ，cosθ-2sinθ），

b

=（1，3）
（1）若

a

∥

b

，求tanθ的值；
（2）若|

a

-

b

|=|

a

+

b

|，求cos2θ的值．

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：（1）利用向量共線定理的坐標(biāo)表示即可得出；
（2）由|

a

-

b

|=|

a

+

b

|，利用向量的平行四邊形法則可得

a

⊥

b

，再利用向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系及其三角函數(shù)的基本關(guān)系式即可得出．

解答： 解：（1）∵

a

∥

b

，
∴3sinθ-（cosθ-2sinθ）=0，化為5sinθ=cosθ，
∴tanθ=

1

5

．
（2）∵|

a

-

b

|=|

a

+

b

|，∴

a

⊥

b

，
∴

a

•

b

=sinθ+3（cosθ-2sinθ）=0，化為4sinθ=3cosθ，
又sin²θ+cos²θ=1，聯(lián)立解得sinθ=±

3

5

．
∴cos2θ=1-2sin²θ=1-2×(±

3

5

)2=

7

25

．

點評：本題考查了向量共線定理的坐標(biāo)表示即可得出、向量的平行四邊形法則、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系及其三角函數(shù)的基本關(guān)系式，屬于基礎(chǔ)題．