Question

7．已知數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=$\frac{{n}^{2}+n}{2}$．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)b_n=$\frac{3}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$，T_n是數(shù)列{b_n}的前n項和，求使得T_n≥$\frac{m}{7}$對所有n∈N^*都成立的最大正整數(shù)m．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)n=1時直接求出a₁，當(dāng)n≥2時由a_n=S_n-S_n-1求得數(shù)列通項，驗證首項后得答案；
（2）把（1）中求出的通項公式代入b_n=$\frac{3}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$，利用裂項相消法求和，再由T_n≥$\frac{m}{7}$對所有n∈N^*都成立求得最大正整數(shù)m的值．

解答 解：（1）由S_n=$\frac{{n}^{2}+n}{2}$，得a₁=S₁=1；
當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{{n}^{2}+n}{2}$-$\frac{（n-1）^{2}+（n-1）}{2}$=n．
當(dāng)n=1時上式成立，
∴a_n=n；
（2）b_n=$\frac{3}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$=$\frac{3}{n（n+1）}=3（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，
∴T_n=$3（1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$=$3（1-\frac{1}{n+1}）=\frac{3n}{n+1}$．
由T_n≥$\frac{m}{7}$，得$\frac{3n}{n+1}≥\frac{m}{7}$，
∴$m≤\frac{21n}{n+1}$．
∵$\frac{21n}{n+1}$單調(diào)遞增，∴當(dāng)n=1時$\frac{21n}{n+1}$有最小值為$\frac{21}{2}$．
∴滿足T_n≥$\frac{m}{7}$對所有n∈N^*都成立的最大正整數(shù)m的值為10．

點評 本題考查由數(shù)列的前n項和求數(shù)列通項，考查了裂項相消法求數(shù)列的前n項和，考查數(shù)列的函數(shù)特性，是中檔題．