Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）設(shè)．

①若函數(shù)在處的切線過點(diǎn)，求的值；

②當(dāng)時，若函數(shù)在上沒有零點(diǎn)，求的取值范圍．

（2）設(shè)函數(shù)，且，求證: 當(dāng)時，．

Answer 1

【答案】（1）①；②；（2）證明見解析．

【解析】試題分析：（1）①由題意切線斜率,又 切線方程 ；②當(dāng) ，因?yàn)?/span>．

然后利用分類討論思想對和分情況討論的：；（2）由題意得,從而原命題等價于設(shè) ,然后利用導(dǎo)數(shù)工具證明．

試題解析：

（1）①由題意，得,所以函數(shù)在處的切線斜率,又，所以函數(shù)在處的切線方程，將點(diǎn)代入，得．

②當(dāng)，可得，因?yàn)?/span>．

當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，而，所以只需，解得，從而當(dāng)時，由，解得

,當(dāng)時，單調(diào)遞減; 當(dāng)時，單調(diào)遞增, 所以函數(shù)在上有最小值為，令，解得．綜上所述，．

（2）由題意，,而,等價于

，則，且，

令，則，因?yàn)?/span>，所以導(dǎo)數(shù)在上單調(diào)遞增，于是，從而函數(shù)在上單調(diào)遞增，即．