Question

18．已知復(fù)數(shù)z滿足|z+4|=|z+4i|．
（1）若復(fù)數(shù)z對應(yīng)復(fù)平面上的點P（x，y），求P的軌跡方程；
（2）又若z+$\frac{14-z}{z-1}$∈R，求復(fù)數(shù)z．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出z=x+yi（x，y∈R），代入|z+4|=|z+4i|，可得y=x，則P點軌跡可求；
（2）由z+$\frac{14-z}{z-1}$∈R，可得z+$\frac{14-z}{z-1}$=$\overline{z}+\frac{14-\overline{z}}{\overline{z}-1}$，整理得到z=$\overline{z}$或|z-1|²=13，結(jié)合（1）可求得z．

解答 解：（1）設(shè)z=x+yi（x，y∈R），又|z+4|=|z+4i|，
將z=x+yi代入|z+4|=|z+4i|，可得$\sqrt{（x+4）^{2}+{y}^{2}}=\sqrt{{x}^{2}+（y+4）^{2}}$，
整理得：x=y，
∴復(fù)數(shù)z對應(yīng)復(fù)平面上的點P的坐標(biāo)為：y=x；
（2）由z+$\frac{14-z}{z-1}$∈R，得z+$\frac{14-z}{z-1}$=$\overline{z}+\frac{14-\overline{z}}{\overline{z}-1}$，
即（z-$\overline{z}$）[1-$\frac{13}{（z-1）（\overline{z}-1）}$]=0，
解得z=$\overline{z}$或|z-1|²=13，
由題意可設(shè)z=x+xi，
當(dāng)z=$\overline{z}$時，有x=0；
當(dāng)|z-1|²=13時，既有x²-x-6=0，解得x=3或x=-2，
綜上所述，z=0或z=3+3i或z=-2-2i．

點評 本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查了復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，對于（2）的求解，利用z∈R?z=$\overline{z}$可使運算簡化，是中檔題．