Question

8．已知關于x的函數(shù)y=-2sin²x-2acosx-（2a-1），x∈R，常數(shù)a∈R．
（1）求y的最小值f（a）；
（2）求使f（a）=$\frac{1}{2}$的a值，并求出此時函數(shù)y的最大值．

Answer 1

分析 （1）由三角函數(shù)公式化簡可得y=2（cosx-$\frac{a}{2}$）²-（$\frac{{a}^{2}}{4}$+2a+1），結合二次函數(shù)的最值分類討論可得；
（2）由（1）分別令f（a）=$\frac{1}{2}$，解方程可得a值，代值計算可得最值．

解答 解：（1）由三角函數(shù)公式化簡可得y=-2sin²x-2acosx-（2a-1）
=-2（1-cos²x）-2acosx-（2a-1）=2cos²x-2acosx-（2a+1）
=2（cosx-$\frac{a}{2}$）²-（$\frac{{a}^{2}}{4}$+2a+1），
當$\frac{a}{2}$≤-1即a≤-2時，當cosx=-1時函數(shù)取最小值f（a）=1；
當$\frac{a}{2}$≥1即a＞2時，當cosx=1時函數(shù)取最小值f（a）=1-4a；
當-1＜$\frac{a}{2}$＜1即-2＜a＜2時，當cosx=$\frac{a}{2}$時函數(shù)取最小值f（a）=$\frac{{a}^{2}}{4}$+2a+1；
綜上可得y的最小值f（a）=$\left\{\begin{array}{l}{1，a≤-2}\\{\frac{{a}^{2}}{4}+2a+1，-2＜a＜2}\\{1-4a，a＞2}\end{array}\right.$；
（2）當a≤-2時，f（a）=1$≠\frac{1}{2}$；
當a＞2時，令f（a）=1-4a=$\frac{1}{2}$可解得a=$\frac{1}{8}$，舍去；
當-2＜a＜2時，令f（a）=$\frac{{a}^{2}}{4}$+2a+1=$\frac{1}{2}$可解得a=-4+3$\sqrt{2}$，或a=-4+3$\sqrt{2}$（舍去）；
故使f（a）=$\frac{1}{2}$的a值為-4+3$\sqrt{2}$，此時函數(shù)y的最大值為27-18$\sqrt{2}$

點評 本題考查三角函數(shù)的最值，涉及二次函數(shù)的最值和分類討論的思想，屬中檔題．