分析 (1)求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù),求得切線的斜率,解方程可得a=1;
(2)由題意可得z≥(1-x+$\frac{{x}^{2}}{2}$-$\frac{{x}^{3}}{3}$+x2)max,求得導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間,可得最值,即可得到所求范圍;
(3)討論n為偶數(shù)時(shí),函數(shù)fn(x)的導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間,即可得證.
解答 解:(1)函數(shù)φ(x)=f3(x)+ax2=1-x+$\frac{{x}^{2}}{2}$-$\frac{{x}^{3}}{3}$+ax2,
導(dǎo)數(shù)為φ′(x)=-1+x-x2+2ax,
在點(diǎn)B(1,φ(1))處的切線的斜率為-1+1-1+2a=1,
解得a=1;
(2)不等式φ(x)≤z對(duì)于任意x∈[0,2]恒成立,即為:
z≥(1-x+$\frac{{x}^{2}}{2}$-$\frac{{x}^{3}}{3}$+x2)max,
由φ′(x)=-1+3x-x2,可得0<x<$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$,φ′(x)<0,φ(x)遞減,
在$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$<x<2,φ′(x)>0,φ(x)遞增.
即有x=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$,取得最小值,x=2時(shí)取得最大值,且為$\frac{7}{3}$.
則有z≥$\frac{7}{3}$;
(3)證明:當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),函數(shù)fn(x)=1-x+$\frac{{x}^{2}}{2}$-$\frac{{x}^{3}}{3}$+…+$\frac{{x}^{n}}{n}$(x∈R).
導(dǎo)數(shù)為fn′(x)=-1+x-x2+x3-x4+…+xn-1=(x-1)(1+x2+x4+…+xn-2),
即有x>1時(shí),fn′(x)>0,fn(x)遞增;x<1時(shí),fn′(x)<0,fn(x)遞減.
則存在無(wú)數(shù)個(gè)n∈N*,且n為偶數(shù)時(shí),
對(duì)任意給定的兩個(gè)不同的x1,x2必有fn(x1)=fn(x2)成立.
點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用:求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間、極值和最值,考查不等式恒成立問(wèn)題和存在性問(wèn)題的解法,注意運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間和最值,考查運(yùn)算能力,屬于中檔題.
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A. | 向左平移$\frac{π}{6}$ | B. | 向右平移$\frac{π}{3}$ | C. | 向左平移$\frac{5π}{6}$ | D. | 向右平移$\frac{2π}{3}$ |
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A. | $\frac{\sqrt{5}}{5}$ | B. | $\frac{2\sqrt{5}}{5}$ | C. | -$\frac{\sqrt{5}}{5}$ | D. | -$\frac{2\sqrt{5}}{5}$ |
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A. | 0 | B. | -1 | C. | 3 | D. | -3 |
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