Question

3．已知點A，B分別是橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左頂點與上頂點．若直線AB被圓x²+y²=a²截得的弦長為2b，記橢圓的離心率為e，則e²=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$．

Answer 1

分析 由題意可得A（-a，0），B（0，b），直線AB的方程為bx-ay=ab，求得圓心到直線的距離，運用弦長公式，可得a，b的方程，再由a，b，c和離心率公式，解方程即可得到所求值．

解答 解：由題意可得A（-a，0），B（0，b），
直線AB的方程為bx-ay=ab，
圓x²+y²=a²的圓心到直線的距離為d=$\frac{ab}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$，
由弦長公式可得2$\sqrt{{a}^{2}-\frac{{a}^{2}^{2}}{{a}^{2}+^{2}}}$=2b，
化簡可得a⁴-a²b²-b⁴=0，
由b²=a²-c²，可得a⁴-3a²c²+c⁴=0，
結(jié)合e=$\frac{c}{a}$，可得e⁴-3e²+1=0，
解得e²=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$（$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$舍去）．
故答案為：$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$．

點評 本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，主要考查離心率的求法，考查直線和圓相交的弦長公式的運用，考查運算能力，屬于中檔題．