Question

已知函數(shù)f（x）=e^x-e^-x，實(shí)數(shù)x，y滿足f（x²-2x）+f（2y-y²）≥0，若點(diǎn)M（1，2），N（x，y），則當(dāng)1≤x≤4時(shí)，

OM

•

ON

的最大值為

 

（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,平面向量及應(yīng)用

分析：可判函數(shù)f（x）為奇函數(shù)增函數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為在

(x-y)(x+y-2)≥0 1≤x≤4

之下，求z=x+2y的最大值的線性規(guī)劃問題，作圖可得．

解答： 解：∵f（x）=e^x-e^-x，∴f（-x）=e^-x-e^x=-f（x），
∴函數(shù)f（x）=e^x-e^-x為奇函數(shù)，
又易判f（x）=e^x-e^-x=e^x-

1

ex

為R上的增函數(shù)，
∴f（x²-2x）+f（2y-y²）≥0可化為f（x²-2x）≥-f（2y-y²），
由奇函數(shù)的性質(zhì)可得f（x²-2x）≥f（-2y+y²），
∴x²-2x≥-2y+y²，變形可得（x-y）（x+y-2）≥0，
又∵點(diǎn)M（1，2），N（x，y），∴

OM

•

ON

=x+2y，
問題轉(zhuǎn)化為在

(x-y)(x+y-2)≥0 1≤x≤4

之下，求z=x+2y的最大值的線性規(guī)劃問題，

作出圖象可知當(dāng)目標(biāo)直線（紅色）經(jīng)過圖中的點(diǎn)A時(shí)，z=x+2y取最大值，
聯(lián)立

y=x x=4

可解x=4，y=4，即A（4，4），
代入計(jì)算可得z=x+2y的最大值為z_max=4+2×4=12．
故答案為：12

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面向量的數(shù)量積，涉及函數(shù)的單調(diào)性奇偶性以及線性規(guī)劃問題，屬中檔題．