Question

3．已知函數(shù)f（x）=ln$\frac{ex}{e-x}，若f（\frac{e}{2013}）+f（\frac{2e}{2013}）+…+f（\frac{2012e}{2013}）=503（a+b），則{a^2}+{b^2}$的最小值為8．

Answer 1

分析 求出f（x）+f（e-x）的值，然后利用已知條件列出關(guān)系式，通過基本不等式求出表達(dá)式的最小值．

解答 解：函數(shù)f（x）=ln$\frac{ex}{e-x}$，
f（x）+f（e-x）=$ln\frac{ex}{e-x}+ln\frac{e（e-x）}{e-（e-x）}$=$ln\frac{ex}{e-x}+ln\frac{e（e-x）}{x}$=1+1+$ln\frac{x}{e-x}+ln\frac{e-x}{x}$=2.$f（\frac{e}{2013}）+f（\frac{2e}{2013}）+…+f（\frac{2012e}{2013}）=503（a+b）$，
即：2012=503（a+b），
可得a+b=4．
∵a²+b²≥$\frac{（a+b）^{2}}{2}$=8．
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時(shí)取等號(hào)．
a²+b²的最小值為：8．
故答案為：8．

點(diǎn)評(píng) 本題考查基本不等式求解表達(dá)式的最值，函數(shù)值的求法，推出f（x）+f（e-x）=2是解題的關(guān)鍵．