【題目】已知函數(shù)f(x)=x2﹣ax﹣alnx(a∈R),g(x)=﹣x3+ x2+2x﹣6,g(x)在[1,4]上的最大值為b,當(dāng)x∈[1,+∞)時,f(x)≥b恒成立,則a的取值范圍( )
A.a≤2
B.a≤1
C.a≤﹣1
D.a≤0
【答案】B
【解析】解:g′(x)=﹣3x2+5x+2,令g′(x)=0得x=2或x=﹣ .
當(dāng)1≤x<2時,g′(x)>0,當(dāng)2<x<4時,g′(x)<0,
∴g(x)在[1,2)上單調(diào)遞增,在(2,4]上單調(diào)遞減,
∴b=g(2)=0.
∴f(x)≥0在[1,+∞)上恒成立,
f′(x)=2x﹣a﹣ = ,
令h(x)=2x2﹣ax﹣a,△=a2+8a.
1)若△=a2+8a≤0,即﹣8≤a≤0,則h(x)≥0恒成立,
∴f′(x)≥0恒成立,∴f(x)在[1,+∞)上是增函數(shù),
∴fmin(x)=f(1)=1﹣a≥0,解得a≤1,
∴﹣8≤a≤0.
2)若△=a2+8a>0,即a<﹣8或a>0.
令f′(x)=0得h(x)=0,解得x= (舍)或x= .
若a<﹣8,則 <0,則h(x)>0在[1,+∞)上恒成立,
∴f′(x)>0恒成立,∴f(x)在[1,+∞)上是增函數(shù),
∴fmin(x)=f(1)=1﹣a≥0,解得a≤1,
∴a<﹣8.
若0< ≤1,即0<a≤1,則h(x)>0在[1,+∞)上恒成立,
∴f′(x)≥0恒成立,∴f(x)在[1,+∞)上是增函數(shù),
∴fmin(x)=f(1)=1﹣a≥0,解得a≤1,
∴0<a≤1.
若 >1,即a>1時,則1≤x< 時,h(x)<0,當(dāng)x> 時,h(x)>0.
∴1≤x< 時,f′(x)<0,當(dāng)x> 時,f′(x)>0.
∴f(x)在[1, ]上單調(diào)遞減,在( ,+∞)上單調(diào)遞增.
此時fmin(x)<f(1)=1﹣a<0,不符合題意.
綜上,a的取值范圍是(﹣∞,1].
故選:B.
【考點精析】利用函數(shù)的最值及其幾何意義和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)對題目進(jìn)行判斷即可得到答案,需要熟知利用二次函數(shù)的性質(zhì)(配方法)求函數(shù)的最大(。┲;利用圖象求函數(shù)的最大(小)值;利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大(。┲;求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)在內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值,比較,其中最大的是一個最大值,最小的是最小值.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在三棱錐P-ABC中, 且底面,D是PC的中點,已知,AB=2,AC=,PA=2.
(1)求三棱錐P-ABC的體積
(2)求異面直線BC與AD所成角的余弦值。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列命題中是真命題的個數(shù)是( )
(1)垂直于同一條直線的兩條直線互相平行
(2)與同一個平面夾角相等的兩條直線互相平行
(3)平行于同一個平面的兩條直線互相平行
(4)兩條直線能確定一個平面
(5)垂直于同一個平面的兩個平面平行
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的左右焦點分別為,點為橢圓上一點. 的重心為,內(nèi)心為,且,則該橢圓的離心率為( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)平面中,的兩個頂點為,平面內(nèi)兩點、同時滿足:①++=;②||=||=||;③∥.
(1)求頂點的軌跡的方程;
(2)過點作兩條互相垂直的直線,直線與點的軌跡相交弦分別為,設(shè)弦的中點分別為.求四邊形的面積的最小值;
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知等差數(shù)列的前三項依次為a,3,5a,前n項和為Sn,且Sk=121.
(1)求a及k的值;
(2)設(shè)數(shù)列{bn}的通項bn=,證明數(shù)列{bn}是等差數(shù)列,并求其前n項和Tn.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)數(shù)列{an}(n≥1,n∈N)滿足a1=2,a2=6,且(an+2﹣an+1)﹣(an+1﹣an)=2,若[x]表示不超過x的最大整數(shù),則[ + +…+ ]= .
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