Question

10．已知圓C過點$A（\frac{3}{4}，\;0）$，且與直線$l：\;x=-\frac{3}{4}$相切，
（I）求圓心C的軌跡方程；
（II） O為原點，圓心C的軌跡上兩點M、N（不同于點O）滿足$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}=0$，已知$\overrightarrow{OP}=\frac{1}{3}\overrightarrow{OM}$，$\overrightarrow{OQ}=\frac{1}{3}\overrightarrow{ON}$，證明直線PQ過定點，并求出該定點坐標和△APQ面積的最小值．

Answer 1

分析 （I）由已知得圓心C的軌跡是以A為焦點，l為準線的拋物線，即可求圓心C的軌跡方程；
（II） 求出M，N的坐標，可得P，Q的坐標，進而可得直線PQ的方程，從而證明直線PQ過定點，并求出該定點坐標和△APQ面積的最小值．

解答 解：（Ⅰ）由已知得圓心C的軌跡是以A為焦點，l為準線的拋物線，
由$\frac{p}{2}=\frac{3}{4}$得y²=2px=3x，得圓心C的軌跡方程為y²=3x；-------------------------（3分）
（Ⅱ）證明：依題意知OM的斜率k存在，且k≠0，設OM的方程為y=kx，------------（4分）
∵OM⊥ON，則ON的方程為$y=-\frac{1}{k}x$，
由$\left\{{\begin{array}{l}{y=kx}\\{{y^2}=3x}\end{array}}\right.$得k²x²=3x，得${x_M}=\frac{3}{k^2}$，------------------------------------------------------（6分）
同理得${x_N}=3{k^2}$，
由已知得${x_P}=\frac{1}{k^2}$，${x_N}={k^2}$，∴$P（\frac{1}{k^2}，\;\frac{1}{k}）$，Q（k²，-k），----------------------------（8分）
∴${k_{PQ}}=\frac{{-k-\frac{1}{k}}}{{{k^2}-\frac{1}{k^2}}}=-\frac{k}{{{k^2}-1}}$，直線PQ的方程為y+k=$-\frac{k}{{{k^2}-1}}（x-{k^2}）$，
即k（x-1）+（k²-1）y=0，∴直線PQ過定點（1，0），---------------------------------（10分）
設B（1，0），則${S_{△APQ}}=\frac{1}{2}|AB|•|{y_P}-{y_Q}|=\frac{1}{2}×\frac{1}{4}×|\frac{1}{k}+k|$=$\frac{1}{8}（|\frac{1}{k}|+|k|）≥\frac{1}{8}×2=\frac{1}{4}$，
∴△APQ面積的最小值為$\frac{1}{4}$．---------------------------------------------------------------------（12分）

點評 本題考查拋物線的定義與方程，考查直線與拋物線的位置關系，考查三角形面積的計算，屬于中檔題．