Question

如圖，是某受污染的湖泊在自然凈化過程中，某種有害物質的剩留量y與凈化時間t（月）的近似函數(shù)關系：y=a^t（a＞0，a≠1，t≥0），有以下敘述：
①第4個月時，剩留量就會低于

1

5

；
②每月減少的有害物質量都相等；
③若剩留量為

1

2

， 

1

4

， 

1

8

所經(jīng)過的時間分別是t₁，t₂，t₃，則t₁+t₂=t₃
其中所有正確的敘述是

 

．

Answer 1

考點：指數(shù)函數(shù)的圖像與性質

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：先根據(jù)圖象經(jīng)過點（2，

4

9

）求出a，然后對沒有個選支進行逐一判斷即可．

解答： 解：根據(jù)圖象過點（2，

4

9

）可知
點（2，

4

9

）適合y=a^t即

4

9

=a²，
解得a=

2

3

，a=-

2

3

（舍去）
∴函數(shù)關系是y=(

2

3

)t，
令t=4時，y=

16

81

＜

1

5

，故①正確；
當t=1時，y=

2

3

，減少

1

3

，當t=2時，y=

4

9

，減少

2

9

，每月減少有害物質量不相等，故②不正確；
分別令y=

1

2

， 

1

4

， 

1

8

，解得t₁=log

2

3

1

2

，t₂=log

2

3

1

4

，t₃=log

2

3

1

8

，t₁+t₂=t₃，故③正確．
其中所有正確命題的序號是：①③
故答案為．①③

點評：本題考查的知識點是指數(shù)函數(shù)的綜合應用、指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的增長差異、函數(shù)的圖象等知識，其中根據(jù)圖象，確定函數(shù)圖象經(jīng)過的點的坐標，求出函數(shù)的解析式是解答本題的關鍵．