Question

等差數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，a₁=3，前n項(xiàng)和為S_n，{b_n}為等比數(shù)列，b₁=1，且b₂S₂=64，b₃S₃=960．
（1）求a_n與b_n；
（2）求{

1

Sn

}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件，利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和列出方程組，求出等差數(shù)列的公差和等比數(shù)列的公比，由此能求出a_n與b_n．
（2）由（1）能推導(dǎo)出S_n=n（n+2），由此利用裂項(xiàng)求和法能求出{

1

Sn

}的前n項(xiàng)和．

解答： 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，等比數(shù)列{b_n}的公比為q，
∵等差數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，a₁=3，b₁=1，
∴a_n=3+（n-1）d，b_n=q^n-1，d＞0，
∵b₂S₂=64，b₃S₃=960，
∴

(6+d)q=64 (9+3d)q2=960

，
解得

d=2 q=8

或

d=- 6 5 q= 40 3

，（舍）
∴a_n=2n+1．b_n=8^n-1．
（2）∵a₁=3，d=2，
∴Sn=3n+

n(n-1)

2

×2=n（n+2），
∴

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

=

1

1×3

+

1

2×4

+

1

3×5

+…+

1

n(n+2)

=

1

2

(1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+

1

3

-

1

5

+…+

1

n

-

1

n+2

)
=

1

2

(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)
=

3

4

-

1

2

(

1

n+1

-

1

n+2

)
=

3

4

-

2n+3

2(n+1)(n+2)

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的求法，是中檔題，解題時(shí)要注意錯(cuò)位相減求和法的合理運(yùn)用．