Question

已知

m

=(2sinx，sinx-cosx)，

n

=(

3

cosx，sinx+cosx)，函數(shù)f(x)=

m

•

n

．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊為a，b，c，若f(

A

2

)=2，b=1，△ABC的面積為

3

2

，求a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：計(jì)算題,解三角形,平面向量及應(yīng)用

分析：（1）利用向量的數(shù)量積公式運(yùn)算，并結(jié)合二倍角的三角函數(shù)公式與輔助角公式化簡(jiǎn)，可得f(x)=2sin(2x-

π

6

)；
（2）由f(

A

2

)=2算出A=

2π

3

，根據(jù)三角形的面積公式算出c=2．最后根據(jù)余弦定理加以計(jì)算，可得邊a的值．

解答： 解：（1）∵

m

=(2sinx，sinx-cosx)，

n

=(

3

cosx，sinx+cosx)，
∴f(x)=

m

•

n

=(2sinx，sinx-cosx)•(

3

cosx，sinx+cosx)
=2

3

sinxcosx+sin2x-cos2x=2sin(2x-

π

6

)
即f（x）的解析式為f(x)=2sin(2x-

π

6

)；
（2）由（1）得f(

A

2

)=2sin(A-

π

6

)=2，即sin(A-

π

6

)=1
∴結(jié)合A為三角形的內(nèi)角，得A-

π

6

=

π

2

，解得A=

2π

3

．
又∵

1

2

bcsinA=

3

2

，
∴

1

2

×1×c×sin

2π

3

=

3

2

，解之得c=2．
因此，根據(jù)余弦定理得a²=b²+c²-2bccosA=1+4+2=7，
解得a=

7

（舍負(fù)）

點(diǎn)評(píng)：本題求三角函數(shù)的解析式，并依此解△ABC．著重考查了向量數(shù)量積公式、三角恒等變換公式、利用正余弦定理解三角形等知識(shí)，屬于中檔題．