Question

已知集合M是滿足下列性質(zhì)的函數(shù)f（x）的全體：存在非零常數(shù)k，對(duì)任意x∈D，等式f(kx)=

k

2

+f(x)恒成立．
（1）試判斷一次函數(shù)f（x）=ax+b（a≠0）是否屬于集合M；
（2）證明f（x）=log₂x屬于集合M，并寫出一個(gè)滿足條件的常數(shù)k．

Answer 1

考點(diǎn)：元素與集合關(guān)系的判斷,一次函數(shù)的性質(zhì)與圖象,對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)

專題：集合

分析：（1）直接代入等式f(kx)=

k

2

+f(x)，化簡即可；（2）則需要利用等式f(kx)=

k

2

+f(x)，建立關(guān)系式，然后得到滿足條件的常數(shù)k的值．

解答： 解：（1）若等式f(kx)=

k

2

+f(x)恒成立，
則a(k-1)x-

k

2

=0恒成立，
∵a≠0
∴

k-1=0 k 2 =0

，
∴不存在非零常數(shù)k，
∴函數(shù)f（x）=ax+b（a≠0）不屬于集合M．
（2）證明：對(duì)任意x∈（0，+∞），f（kx）=log₂（kx），
∴

k

2

+log2x=log2[2(

k

2

)x]，
∵函數(shù)y=x²與y=2^x圖象有交點(diǎn)，
∴存在非零常數(shù)k，使得k=2

k

2

即等式f(kx)=

k

2

+f(x)恒成立．
非零常數(shù)k=2或4．
故答案為非零常數(shù)k=2或4．

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查集合的基本運(yùn)算、元素與集合的關(guān)系等知識(shí)，考查比較綜合，屬于中檔題．