設(shè)x>0,求證:1+x+x2+…+x2n≥(2n+1)xn.

證明:(1)x≥1時(shí),1≤x≤x2≤…≤xn,

∴|x|+x·x+x2·x2+…+xn·xn≥1·xn+x·xn-1+…+xn-1·x+xn·1,

即1+x2+x4+…+x2n>(n+1)·xn,

1·x+x·x2+…+xn-1·xn+xn·1≥1·xn+x·xn-1+…+xn-1·x+xn·1,

即x+x3+…+x2n-1+xn≥(n+1)xn.

兩式相加,得1+x+x2+…+x2n≥(2n+1)xn.

(2)當(dāng)0<x<1時(shí),有xn≤xn-1≤…≤x2≤x<1,

此時(shí)上面證明仍然成立.

綜合(1)(2),知1+x+x2+…+x2n≥(2n+1)xn.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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已知函數(shù)y=f(x)=-x3+ax2+b(a,b∈R)
(Ⅰ)若函數(shù)y=f(x)的圖象切x軸于點(diǎn)(2,0),求a、b的值;
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(Ⅲ)若函數(shù)y=f(x)的圖象上任意不同的兩點(diǎn)的連線的斜率小于1,求證|a|<
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(1)設(shè)x,y∈(0,+∞),求證:f()=f(y)-f(x);

(2)設(shè)x1,x2∈(0,+∞),f(x1)>f(x2),試比較x1,x2的大。

(3)解不等式f()>f(ax-3)(0<a<1).

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