Question

【題目】設(shè)數(shù)列的前項和，對任意，都有（為常數(shù)）.

（1）當(dāng)時，求；

（2）當(dāng)時，

（ⅰ）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；

（ⅱ）若數(shù)列為遞增數(shù)列且，設(shè)，試問是否存在正整數(shù)（其中），使成等比數(shù)列？若存在，求出所有滿足條件的數(shù)組；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）（ⅰ）證明見解析（ⅱ）存在唯一正整數(shù)數(shù)對，使成等比數(shù)列

【解析】

（1）當(dāng)時，利用公式計算得到，再計算得到.

（2）（ⅰ）化簡得到，得到，化簡得到

得到答案.

（2）（ⅱ）計算，假設(shè)存在正整數(shù)數(shù)組，則當(dāng)，且時，，故數(shù)列為遞減數(shù)列，為方程的一組解，得到答案.

（1）時，①

時，②

由②－①得即

時，，∴

（常數(shù)，），∴以1為首項，4為公比的等比數(shù)列

∴

（2）（ⅰ）當(dāng)，，時，.③

當(dāng)時，.④

③－④得：，⑤

所以.⑥

⑤－⑥得：.

因為，所以，即，

所以是等差數(shù)列.

（ⅱ）因為為遞增等差數(shù)列.，又

得或者（舍），所以

假設(shè)存在正整數(shù)數(shù)組，使成等比數(shù)列，則成等差數(shù)列，

于是，

所以，（☆）

易知為方程（☆）的一組解.

當(dāng)，且時，，故數(shù)列為遞減數(shù)列，

于是，所以此時方程（☆）無正整數(shù)解.

綜上，存在唯一正整數(shù)數(shù)對，使成等比數(shù)列.