Question

【題目】如圖，四棱錐中，底面為矩形，側(cè)面為正三角形，，，平面平面，為棱上一點(diǎn)（不與、重合），平面交棱于點(diǎn).

（1）求證：；

（2）若二面角的余弦值為，求點(diǎn)到平面的距離.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）先根據(jù)線面平行判定定理得平面，再根據(jù)線面平行性質(zhì)定理得結(jié)果；

（2）取的中點(diǎn)，根據(jù)面面垂直性質(zhì)定理得平面，再根據(jù)條件建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)立各點(diǎn)坐標(biāo)，利用向量數(shù)量積解得平面的一個(gè)方向量，再利用向量夾角公式以及二面角與向量夾角關(guān)系列方程，解得E點(diǎn)坐標(biāo)，最后根據(jù)向量求點(diǎn)面距，即得結(jié)果.

（1）底面為矩形，.

又平面，平面，平面.

又平面，平面平面，.

（2）取的中點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作交于點(diǎn).

側(cè)面為正三角形，.

平面平面且交線為，

平面，為矩形，，，

如圖所示，建立以，，所在直線為軸，軸，軸的空間直角坐標(biāo)系

，，，，.

設(shè)，又，.

，.

設(shè)平面的法向量為

，

令，，，

平面的一個(gè)法向量.

又易知是平面的一個(gè)法向量，

，

解得：，，.

又平面的一個(gè)法向量，

點(diǎn)到平面的距離為：.