【題目】已知橢圓經(jīng)過點，長軸長是短軸長的2倍.

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)直線經(jīng)過點且與橢圓相交于兩點（異于點），記直線的斜率為，直線的斜率為，證明：為定值，并求出該定值.

【答案】(1) ；（2）1。

【解析】

(1) 由橢圓的方程可知，橢圓的焦點在軸上，經(jīng)過點，可以求出，長軸長是短軸長的2倍，可以求出，由此可以求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。

（2）設(shè)出直線的方程，與橢圓的方程聯(lián)立，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，對進(jìn)行化簡。

（1）由橢圓可知橢圓的焦點在軸上，經(jīng)過點所以=1，又因為長軸長是短軸長的2倍，所以=2，因此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：。

（2）若直線的斜率不存在，即直線的方程為，與橢圓只有一個交點，不符合題意。

設(shè)直線的斜率為，若=0，直線與橢圓只有一個交點，不符合題意，故。

所以直線的方程為，即， 直線的方程與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程聯(lián)立得：消去得，，

設(shè)，則，

，

把代入上式，得

，命題得證。

練習(xí)冊系列答案
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【題目】如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，平面，在棱上．

（I）當(dāng)時，求證平面

（II）當(dāng)二面角的大小為時，求直線與平面所成角的正弦值．

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(1)求函數(shù)f(x)的解析式；

(2)當(dāng)x∈[0,3]時，求函數(shù)f(x)的值域．

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【題目】已知函數(shù)（）.

（1）若，求曲線在點處的切線方程.

（2）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

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【題目】已知平面上動點P到定點的距離比P到直線的距離大1.記動點P的軌跡為曲線C.

（1）求曲線C的方程；

（2）過點的直線交曲線C于A、B兩點，點A關(guān)于x軸的對稱點是D，證明：直線恒過點F.

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【題目】設(shè)數(shù)列的前項和，對任意，都有（為常數(shù)）.

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（2）當(dāng)時，

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（ⅱ）若數(shù)列為遞增數(shù)列且，設(shè)，試問是否存在正整數(shù)（其中），使成等比數(shù)列？若存在，求出所有滿足條件的數(shù)組；若不存在，說明理由.

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【題目】以下四個命題：①設(shè)，則是的充要條件；②已知命題、、滿足“或”真，“或”也真，則“或”假；③若，則使得恒成立的的取值范圍為{或}；④將邊長為的正方形沿對角線折起，使得，則三棱錐的體積為.其中真命題的序號為________.

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（1）若曲線與在點處有相同的切線，求函數(shù)的極值；

（2）若時，不等式在（為自然對數(shù)的底數(shù)，）上恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

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【題目】已知橢圓：的離心率為，橢圓：經(jīng)過點.

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（2）設(shè)點是橢圓上的任意一點，射線與橢圓交于點，過點的直線與橢圓有且只有一個公共點，直線與橢圓交于，兩個相異點，證明：面積為定值.

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