Question

以下五個(gè)關(guān)于圓錐曲線的命題中：
①雙曲線

x2

16

-

y2

9

=1與橢圓

x2

49

+

y2

24

=1有相同的焦點(diǎn)；
②方程2x²-3x+1=0的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率；
③設(shè)A、B為兩個(gè)定點(diǎn)，K為常數(shù)，若|PA|-|PB|=K，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為雙曲線；
④過拋物線y²=4x的焦點(diǎn)作直線與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)，則使它們的橫坐標(biāo)之和等于5的直線有且只有兩條．
其中真命題的序號為

 

（寫出所有真命題的序號）

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：①求出雙曲線

x2

16

-

y2

9

=1和橢圓

x2

49

+

y2

24

=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)，判定命題正確；
②求出方程2x²-3x+1=0的兩根，結(jié)合橢圓、雙曲線的離心率的范圍，判定命題錯(cuò)誤；
③根據(jù)雙曲線的定義，判定命題錯(cuò)誤；
④討論直線l的斜率不存在和斜率為0時(shí)都不符合題意，設(shè)l為y=k（x-1）與拋物線方程聯(lián)立消去y，得出A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和，求得k的值，判定命題正確．

解答： 解：對于①，雙曲線

x2

16

-

y2

9

=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（-5，0）、（5，0），
橢圓

x2

49

+

y2

24

=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（-5，0）、（5，0），
∴焦點(diǎn)相同，命題①正確；
對于②，方程2x²-3x+1=0的兩根是1和

1

2

，

1

2

可作為橢圓的離心率，1既不是橢圓的離心率，也不是雙曲線的離心率，
∴命題②錯(cuò)誤；
對于③，A、B是兩個(gè)定點(diǎn)，K為常數(shù)，
若|PA|-|PB|=K，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是雙曲線的一支，∴命題③錯(cuò)誤；
對于④，過拋物線y²=4x的焦點(diǎn)F（1，0）作直線l與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)，
當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，橫坐標(biāo)之和等于2，不合題意；
當(dāng)直線l的斜率為0時(shí)，只有一個(gè)交點(diǎn)，不合題意；
∴設(shè)直線l的斜率為k（k≠0），則直線l為y=k（x-1），
代入拋物線y²=4x得，k²x²-2（k²+2）x+k²=0；
∵A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和等于5，
∴

2(k2+2)

k2

=5，解得k²=

4

3

，
∴這樣的直線有且僅有兩條．
綜上，正確的命題是①④．
故答案為：①④．

點(diǎn)評：本題通過命題真假的判定，考查了圓錐曲線的定義與簡單的幾何性質(zhì)，直線與圓錐曲線的應(yīng)用問題，是綜合題目．