Question

A=a^m+a^-m，B=aⁿ+a^-n，m＞n＞0，a＞0，且a≠1，試比較A、B大小．

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：作差可得A-B=(am-an)•

am+n-1

am+n

．分類討論：a＞1，0＜a＜1，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答： 解：A-B=a^m+a^-m-（aⁿ+a^-n）=am-an+

an-am

anam

=(am-an)•

am+n-1

am+n

．
①當(dāng)a＞1時，∵m＞n＞0，∴a^m＞aⁿ，a^m+n＞1，a^m+n＞a⁰=1，∴(am-an)•

am+n-1

am+n

＞0．
∴A-B＞0，即A＞B．
②當(dāng)0＜a＜1時，∵m＞n＞0，∴a^m＜aⁿ，a^m+n＜a⁰=1，a^m+n＞0，∴(am-an)•

am+n-1

am+n

＞0．
∴A-B＞0即A＞B．
綜上可知：無論a＞1，還是0＜a＜1，都有A＞B．

點(diǎn)評：本題考查了“作差法”比較兩個數(shù)的大小、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．