Question

已知圓x²+y²=9的內(nèi)接三角形ABC，點A的坐標(biāo)是（-3，0），重心G的坐標(biāo)為（-

1

2

，-1），求：
（1）邊BC所在的直線方程；
 （2）弦BC的長度．

Answer 1

考點：直線與圓的位置關(guān)系

專題：直線與圓

分析：（1）要求三角形頂點的坐標(biāo)，可先將它們的坐標(biāo)設(shè)出來，根據(jù)重心的性質(zhì)，我們不難求出BC邊上中點D的坐標(biāo)，及BC所在直線的斜率，代入直線的點斜式方程即可求出答案．
（2）由（1）知，BC邊所在直線方程為4x-8y-15=0．利用點到直線的距離公式可求出圓心到直線BC的距離．從而根據(jù)弦長公式求出弦BC的長度．

解答： 解：設(shè)B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
∵重心G的坐標(biāo)為（-

1

2

，-1），
∴

x1+x2-3 3 =- 1 2 y1+y2 3 =-1

．
∴

x1+x2= 3 2 y1+y2=-3

．
∴BC中點的坐標(biāo)為D（

3

4

，-

3

2

）．
又∵點B，C在圓x²+y²=9上，
∴

x12+y12=9 x22+y22=9

．
兩式相減，得
x12-x22+y12-y22=0
 即：（x₁+x₂）（x₁-x₂）+（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0
∴

y1-y2

x1-x2

=-

x1+x2

y1+y2

=

1

2

．
∴邊BC所在的直線方程為
y+

3

2

=

1

2

(x-

3

4

)．
即4x-8y-15=0．
（2）由（1）知，邊BC所在的直線方程為
4x-8y-15=0．
圓心（0，0）到邊BC的距離
d=

15

42+82

=

3

4

5

．
∴弦BC的長度為
2

r2-d2

=2

9- 45 16

=

3 11

2

．

點評：本題考查三角形重心的性質(zhì)，中點坐標(biāo)公式，直線的點斜式方程，點到直線的距離公式等知識的綜合運用．屬于中檔題．