Question

已知圓O₁：x²+y²-4x+3=0，O₂：x²+y²+4x-45=0，圓心為P的動圓C與圓O₁外切，且與圓O₂內(nèi)切．
（Ⅰ）判斷點P的軌跡為何種曲線，并求出其方程；
（Ⅱ）已知點M（2，3），點N（2，1），若平行于ON（O為坐標(biāo)原點）的直線l₁交點P的軌跡于A、B兩點，求證：直線MA、MB與x軸始終圍成一個等腰三角形．

Answer 1

考點：軌跡方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，利用橢圓的定義，可得點P的軌跡是以O(shè)₁，O₂為焦點的橢圓，且a=4，c=2，即可求出橢圓的方程；
（Ⅱ）由直線l∥ON，設(shè)l：y=

1

2

x+m，將式子代入橢圓C得：x²+mx+m²-12=0，設(shè)直線MA、MB的斜率分別為k₁，k₂，欲證明直線MA、MB與x軸圍成一個等腰三角形．只需證明：k₁+k₂=0即可．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)動圓半徑為r，則
圓O₁：x²+y²-4x+3=0，可化為（x-2）²+y²=1；O₂：x²+y²+4x-45=0，可化為（x+2）²+y²=49，
∵圓心為P的動圓C與圓O₁外切，且與圓O₂內(nèi)切，
∴|PO₂|=7-r，|PO₁|=1+r，
∴|PO₂|+|PO₁|=8＞4=|O₁O₂|，
∴點P的軌跡是以O(shè)₁，O₂為焦點的橢圓，且a=4，c=2，
∴b=

a2-c2

=2

3

，
∴橢圓方程為

x2

16

+

y2

12

=1；
（Ⅱ）證明：由直線l∥ON，設(shè)l：y=

1

2

x+m，
將式子代入橢圓C得：x²+mx+m²-12=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=-m，x₁x₂=m²-12，
設(shè)直線MA、MB的斜率分別為k₁，k₂，
則k₁+k₂=

y1-3

x1-2

+

y2-3

x2-2

=

x1x2+(m-4)(x1+x2)-4m+12

(x1-2)(x2-2)

=0，
故直線MA、MB與x軸圍成一個等腰三角形．

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查三角形是等腰三角形的證明，解題時要認真審題，仔細解答，注意直線與橢圓的位置關(guān)系的靈活運用．