Question

如圖，在Rt△ABC中，∠BAC、∠ABC、∠ACB成等差數(shù)列，且AB=4，D點是斜邊BC上一動點，連接AD，以AD為折痕，將△ABD折到與△ADC的同一個平面內(nèi)，B變?yōu)锽₁，設(shè)∠BAD=θ．
（1）求BD的長；
（2）求B₁C的最小值．

Answer 1

考點：解三角形的實際應(yīng)用

專題：應(yīng)用題,解三角形

分析：（1）根據(jù)Rt△ABC中，∠BAC、∠ABC、∠ACB成等差數(shù)列，可得∠ABC=60°，∠BAC=90°，∠ACB=30°，利用正弦定理，可求BD的長；
（2）求出∠B₁BC，由三角形性質(zhì)知，邊所對應(yīng)角最小時，邊長最小，故當∠B₁BC=θ-30°=0時，即可求B₁C的最小值．

解答： 解：（1）∵Rt△ABC中，∠BAC、∠ABC、∠ACB成等差數(shù)列，
∴2∠ABC=∠BAC+∠ACB，
∵∠BAC+∠ABC+∠ACB=90°，
∴∠ABC=60°，∠BAC=90°，∠ACB=30°
又∵AB=4，∠BAD=θ
∴根據(jù)正弦定理

4

sin(180°-60°-θ)

=

BD

sinθ

即BD=

4sinθ

sin(120°-θ)

，
（2）以AD為折痕，將△ABD折到與△ADC到同一個平面內(nèi)，則AB=AB₁，∠BAD=∠B₁AD=θ
∴∠B₁BC=

60°-(180°-2θ)

2

=θ-30°
由三角形性質(zhì)知，邊所對應(yīng)角最小時，邊長最小，故當∠B₁BC=θ-30°=0時，B₁C最小
即θ=30°
可知AD⊥BC，BD=2
則BB₁=4，得出B₁C=BC-BB₁=4，
∴B₁C的最小值為4．

點評：本題考查利用數(shù)學(xué)知識解決實際問題，考查正弦定理，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．