Question

若2xlnx≤2mx²-1在（1，e）上恒成立，則m的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問(wèn)題

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：先分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求得m的取值范圍．

解答： 解：2xlnx≤2mx²-1，得m≥

lnx

x

+

1

2x2

令函數(shù)g（x）=

lnx

x

+

1

2x2

，求導(dǎo)數(shù)，可得g′（x）=

1-lnx- 1 x

x2

令f（x）=lnx+

1

x

，則x∈（0，1），f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，
x∈（1，+∞），f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增．
∴f（x）＞f（1）=1，即lnx+

1

x

＞1，∴g′（x）=

1-lnx- 1 x

x2

＜0
∴g（x）在x∈（0，+∞），g'（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減，
∴在（1，e）上，函數(shù)g（x）=

lnx

x

+

1

2x2

＜

1

2

，
∴m≥

1

2

．
故答案為：m≥

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查恒成立問(wèn)題，考查分離參數(shù)法的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是確定函數(shù)的單調(diào)性．