Question

6．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知$\frac{sinB}{sinA+sinC}$=$\frac{a+b-c}{a+b}$．
（1）求角A的大小；
（2）若B=$\frac{π}{2}$，AB=4$\sqrt{3}$，點(diǎn)D是斜邊AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接BD，以BD為折痕，將△BDA翻折，使點(diǎn)A落在平面BCD內(nèi)點(diǎn)A₁處，連接A₁C，如圖，求A₁C的最小值．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理化簡(jiǎn)已知整理可得b²+c²-a²=bc，由余弦定理可得cosA=$\frac{1}{2}$，結(jié)合范圍A∈（0，π），即可求A．
（2）求出∠A₁AC，由三角形性質(zhì)知，邊所對(duì)應(yīng)角最小時(shí)，邊長(zhǎng)最小，當(dāng)∠A₁AC=θ-30°=0時(shí)，即可求A₁C的最小值．

解答 解：（1）在△ABC中，∵$\frac{sinB}{sinA+sinC}$=$\frac{a+b+c}{a+b}$=$\frac{a+c}$，∴整理可得：b²+c²-a²=bc，
∴由余弦定理可得：cosA=$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{bc}{2bc}$=$\frac{1}{2}$，
∵A∈（0，π），
∴A=$\frac{π}{3}$．
（2）以BD為折痕，將△ABD折到與△ADC到同一個(gè)平面內(nèi)，
設(shè)∠ABD=θ．則AB=BA₁，∠ABD=∠A₁BD=θ，
∴∠A₁AC=60°-$\frac{180°-2θ}{2}$=θ-30°，
由三角形性質(zhì)知，邊所對(duì)應(yīng)角最小時(shí)，邊長(zhǎng)最小，故當(dāng)∠A₁AC=θ-30°=0時(shí)，A₁C最小，
即θ=30°，
可知BD⊥AC，BD=6，
則AA₁=4$\sqrt{3}$，得出A₁C=AC-AA₁=8$\sqrt{3}-4\sqrt{3}$=4$\sqrt{3}$，
∴A₁C的最小值為4$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，考查正弦定理，余弦定理的應(yīng)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．