Question

18．設A（-1，0），B（1，4），動點P滿足$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=4，求：
（1）動點P的軌跡方程；
（2）若點Q是關于直線P關于直線y=x-4的對稱點，求動點Q的軌跡方程．

Answer 1

分析 （1）利用向量的數量積公式，即可求出動點P的軌跡方程；
（2）求出點Q是關于直線P關于直線y=x-4的對稱點，利用（1）的結論求動點Q的軌跡方程．

解答 解：（1）設P（x，y），
∵$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=4，
∴（-1-x，-y）•（1-x，4-y）=4，
∴（-1-x）（1-x）+（-y）（4-y）=4，
∴x²+y²-4y-5=0，
（2）設Q（a，b），則
∵點Q是點P關于直線y=x-4的對稱點，∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{y-b}{x-a}=-1}\\{\frac{y+b}{2}=\frac{x+a}{2}-4}\end{array}\right.$，
∴x=b+4，y=a-4，
∴（b+4）²+（a-4）²-4（a-4）-5=0，
即（y+4）²+（x-4）²-4（x-4）-5=0為Q的軌跡方程．

點評 本題考查軌跡方程，考查向量的數量積公式，考查代入法求軌跡方程，屬于中檔題．