Question

6．已知等比數(shù)列{a_n}中a₂=4，a₅=32
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）記S_n=a₁+3a₂+…+（2n-1）a_n，求S_n．

Answer 1

分析 （1）設(shè)比數(shù)列{a_n}的公比為q，利用等比數(shù)列的通項公式即可得出；
（2）利用“錯位相減法”與等比數(shù)列的前n項和公式即可得出．

解答 解：（1）設(shè)比數(shù)列{a_n}的公比為q，
∵a₂=4，a₅=32，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}q=4}\\{{a}_{1}{q}^{4}=32}\end{array}\right.$，解得a₁=q=2，
∴a_n=2ⁿ．
（2）S_n=1×2+3×2²+5×2³+…+（2n-1）•2ⁿ，
2S_n=2²+3×2³+…+（2n-3）•2ⁿ+（2n-1）•2ⁿ⁺¹，
∴-S_n=2+2×（2²+2³+…+2ⁿ）-（2n-1）•2ⁿ⁺¹=$2×\frac{2（{2}^{n}-1）}{2-1}$-2-（2n-1）•2ⁿ⁺¹
=（3-2n）•2ⁿ⁺¹-6，
∴S_n=（2n-3）•2ⁿ⁺¹+6．

點評 本題考查了“錯位相減法”、等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、遞推關(guān)系的應(yīng)用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．