Question

已知f（x）的定義域為（0，+∞），滿足f（2）=1，f（xy）=f（x）+f（y），且當x＞1時，f（x）＞0恒成立．
（1）求f(1)，f(

1

4

)，f(8)的值．
（2）證明：函數(shù)f（x）在定義域（0，+∞）上單調(diào)遞增．
（3）求關(guān)于x的不等式f（x）+f（x-2）≤3的解集．

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）令x=y=1，可得f（1）=0，再令y=

1

x

⇒f（x）+f（

1

x

）=0，由f（2）=1，f（xy）=f（x）+f（y），可求得f（4），從而可得f（

1

4

）、f（8）的值；
（2）設(shè)0＜x₁＜x₂⇒

x2

x1

＞1，依題意，利用單調(diào)性的定義可證得，函數(shù)f（x）在定義域（0，+∞）上單調(diào)遞增；
（3）f（x）+f（x-2）≤3?f（x）+f（x-2）≤f（8）?

x＞0 x-2＞0 x(x-2)≤8

，解之即可．

解答： 解：（1）∵f（xy）=f（x）+f（y），
∴令x=y=1得：f（1）=f（1）+f（1），
∴f（1）=0；
令y=

1

x

，
則f（x）+f（

1

x

）=f（x•

1

x

）=f（1）=0，
∴f（

1

4

）+f（4）=0，
又當x＞1時，f（x）＞0恒成立，f（2）=1，
∴f（4）=f（2×2）=f（2）+f（2）=1+1=2，
∴f（

1

4

）=-f（4）=-2；
同理可得，f（8）=3f（2）=3；
（2）設(shè)0＜x₁＜x₂，
則

x2

x1

＞1，
∵當x＞1時，f（x）＞0恒成立，f（x）+f（

1

x

）=0，
∴f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（

1

x1

）=f（

x2

x1

）＞0，
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴函數(shù)f（x）在定義域（0，+∞）上單調(diào)遞增；
（3）∵f（x）+f（x-2）≤3=f（8），且函數(shù)f（x）在定義域（0，+∞）上單調(diào)遞增，
∴

x＞0 x-2＞0 x(x-2)≤8

，即

x＞2 (x-4)(x+2)≤0

，
解得：2＜x≤4，
∴不等式f（x）+f（x-2）≤3的解集為{x|2＜x≤4}．

點評：本題考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用，著重考查賦值法的應(yīng)用及函數(shù)的單調(diào)性，考查方程思想與綜合運算能力，屬于難題．