Question

求關(guān)于x的不等式：ax²-2（a+1）x+4≥0（a為實(shí)數(shù)）的解集．

Answer 1

考點(diǎn)：其他不等式的解法,一元二次不等式的解法

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：分別討論a的取值，利用一元二次不等式的解法即可得到結(jié)論．

解答： 解：①若a=0，不等式等價(jià)為2x≤4，即x≤2．
②當(dāng)a≠0時(shí)，不等式等價(jià)為（x-2）（ax-2）≥0，
不等式對(duì)應(yīng)方程（x-2）（ax-2）=0的根為2和

2

a

，
若a＜0，則

2

a

＜2，
此時(shí)不等式（x-2）（ax-2）≥0，等價(jià)為a(x-2)(x-

2

a

)≥0，
即(x-2)(x-

2

a

)≤0，
解得

2

a

≤x≤2．
若a＞0，由

2

a

=2得a=1，
當(dāng)a=1時(shí)，不等式等價(jià)為（x-2）（x-2）≥0此時(shí)解集為R．
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，

2

a

＞2，不等式等價(jià)為(x-2)(x-

2

a

)≥0，此時(shí)x≤2或x≥

2

a

．
當(dāng)a＞1時(shí)，

2

a

＜2，不等式等價(jià)為(x-2)(x-

2

a

)≥0，此時(shí)x≤

2

a

或x≥2．
綜上：不等式的解集為：
當(dāng)a=0時(shí)，不等式的解集為{x|x≤2}，
當(dāng)a=1時(shí)，不等式的解集為R，
當(dāng)a＜0時(shí)，不等式的解集為{x|

2

a

≤x≤2}，
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，不等式的解集為{x|x≤2或x≥

2

a

}，
當(dāng)a＞1時(shí)，不等式的解集為{x|x≤

2

a

或x≥2}．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查一元二次不等式的解法，要對(duì)參數(shù)a進(jìn)行分類討論，綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大．