Question

已知函數(shù)f(x)=

1

2

x2+ax-(a+1)lnx在x=2處的切線與直線2x-y+10=0平行．
（1）求參變量a的值；
（2）求函數(shù)y=f（x）的極值及取得極值時(shí)x的值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，利用函數(shù)在x=2處的切線與直線2x-y+10=0平行，可得f′（2）=2，即可求參變量a的值；
（2）求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)在定義域內(nèi)的單調(diào)性，即可求函數(shù)y=f（x）的極值及取得極值時(shí)x的值．

解答： 解：（1）由已知得直線2x-y+10=0的斜率是：2
∵f(x)=

1

2

x2+ax-(a+1)lnx，
∴f′（x）=x+a-

a+1

x

，
∴f′（2）=2+a-

a+1

2

=2，
∴a=1
（2）由（1）知，f(x)=

1

2

x2+x-2lnx（x＞0），
∴f′(x)=x+1-

2

x

，
令f′(x)=x+1-

2

x

=0，∴x=1，或x=-2（舍去）
∴x∈（0，1）時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)單調(diào)遞減，x∈（1，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增．
∴當(dāng)x=1時(shí)，y=f（x）有極小值

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的單調(diào)性，正確求導(dǎo)是關(guān)鍵．