Question

15．過點(diǎn)A（-$\sqrt{6}$，0）和拋物線x²=2py焦點(diǎn)F的直線與拋物線相交于點(diǎn)B，且$\overrightarrow{AF}$=2$\overrightarrow{FB}$．
（1）求拋物線的方程；
（2）M，N為拋物線上兩點(diǎn)，O為原點(diǎn)，$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=-1，過M，N分別作拋物線的兩條切線，相交于P點(diǎn)，求△PMN面積的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用Rt△AOF與Rt△ACB相似，計(jì)算即得結(jié)論；
（2）通過設(shè)直線MN的方程y=kx+b，并與拋物線方程聯(lián)立，通過$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=-1計(jì)算可知直線MN恒過點(diǎn)（0，1），其方程為y=kx+1，利用兩點(diǎn)間距離公式可知|MN|=$\sqrt{{k}^{2}+1}$•$\sqrt{4{k}^{2}+8}$，通過過M點(diǎn)的切線方程y-y_M=x_M（x-x_M）與過N點(diǎn)的切線方程y-y_N=x_N（x-x_N）作差、整理可知過M、N的兩條拋物線的切線相交于點(diǎn)P（k，-1），
利用點(diǎn)到直線的距離公式可知點(diǎn)P到直線MN的距離d，利用S_△PMN=$\frac{1}{2}$•d•|MN|計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：（1）過點(diǎn)B作x軸垂線交于C，則Rt△AOF～Rt△ACB，
∵$\overrightarrow{AF}$=2$\overrightarrow{FB}$，∴$\frac{|AO|}{|AC|}$=$\frac{|OF|}{|CB|}$=$\frac{|AF|}{|AB|}$=$\frac{2}{3}$，
∵A（-$\sqrt{6}$，0），F(xiàn)（0，$\frac{p}{2}$），
∴x_B+$\sqrt{6}$=$\frac{3}{2}$•$\sqrt{6}$，y_B=$\frac{3}{2}$•$\frac{p}{2}$=$\frac{{{x}_{B}}^{2}}{2p}$，
解得：p=1，
∴拋物線的方程為：x²=2y；
（2）依題意，設(shè)直線MN的方程為：y=kx+b，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+b}\\{{x}^{2}=2y}\end{array}\right.$，消去y、整理得：x²-2kx-2b=0，
∴x_Mx_N=-2b，x_M+x_N=2k，
∵$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=-1，∴x_Mx_N+y_My_N=-1，
∴x_Mx_N+$\frac{1}{4}$（x_Mx_N）²=-1，
整理得：（$\frac{1}{2}$x_Mx_N+1）²=0，
解得：x_Mx_N=-2，
∴-2b=-2，即b=1，
∴直線MN恒過點(diǎn)（0，1），其方程為y=kx+1，
且|MN|=$\sqrt{（{x}_{M}-{x}_{N}）^{2}+（{y}_{M}-{y}_{N}）^{2}}$
=$\sqrt{{k}^{2}+1}$•$\sqrt{（{x}_{M}+{x}_{N}）^{2}-4{x}_{M}{x}_{N}}$
=$\sqrt{{k}^{2}+1}$•$\sqrt{4{k}^{2}+8}$，
∵拋物線的方程為x²=2y，∴y′=x，
∴過M點(diǎn)的切線方程為：y-y_M=x_M（x-x_M）=x_Mx-${{x}_{M}}^{2}$，即y=x_Mx-y_M，
過N點(diǎn)的切線方程為：y-y_N=x_N（x-x_N）=x_Nx-${{x}_{N}}^{2}$，即y=x_Nx-y_N，
兩式相減得：x=$\frac{{y}_{M}-{y}_{N}}{{{x}_{M}-x}_{N}}$=$\frac{\frac{1}{2}{{x}_{M}}^{2}-\frac{1}{2}{{x}_{N}}^{2}}{{x}_{M}-{x}_{N}}$=$\frac{1}{2}$（x_M+x_N）=$\frac{1}{2}•2k$=k，
∴y=x_Mx-y_M=x_M•$\frac{1}{2}$（x_M+x_N）-$\frac{1}{2}$${{x}_{M}}^{2}$=$\frac{1}{2}$x_Mx_N=-1，
∴過M、N的兩條拋物線的切線相交于點(diǎn)P（k，-1），
∵點(diǎn)P到直線MN的距離d=$\frac{|{k}^{2}+1+1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\frac{{k}^{2}+2}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，
∴S_△PMN=$\frac{1}{2}$•d•|MN|
=$\frac{1}{2}$•$\frac{{k}^{2}+2}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$•$\sqrt{{k}^{2}+1}$•$\sqrt{4{k}^{2}+8}$
=（k²+2）•$\sqrt{{k}^{2}+2}$
=$（{k}^{2}+2）^{\frac{3}{2}}$，
顯然當(dāng)k=0時，△PMN面積的最小，最小值為${2}^{\frac{3}{2}}$=2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題考查拋物線的簡單性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．