Question

18．如圖，四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD為正方形，BC=PD=2．
（1）求證：PC⊥BC；
（2）如圖（1），若O、F分別是BD、PD中點(diǎn)，Q在線段PA上，滿足AO∥平面BFQ，求$\frac{AQ}{QP}$的值；
（3）如圖（2），若E為PC的中點(diǎn)，CB=3CG，AD邊上是否存在一點(diǎn)M，使得PA∥平面MEG？若存在，求AM的長；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）由PD⊥平面ABCD，ABCD是正方形，可得PD⊥BC，BC⊥CD，結(jié)合線面垂直的判定定理可證BC⊥平面PCD，即可證PC⊥BC．
（2）作出經(jīng)過直線AQ的平面，使兩個(gè)平面平行，利用線段的比例求解即可．
（3）連接AC，取AC中點(diǎn)O，連接EO、GO，延長GO交AD于點(diǎn)M，則PA∥平面MEG，由三角形相似可得 AM=CG=$\frac{2}{3}$．

解答 解：（1）證明：∵PD⊥平面ABCD，
∴PD⊥BC，（2分）
又∵ABCD是正方形，
∴BC⊥CD，（3分）
∵PD∩CD=D，
∴BC⊥平面PCD，又∵PC?面PDC，
∴PC⊥BC．（6分）
（2）當(dāng)$\frac{AQ}{QP}$=$\frac{1}{2}$時(shí)，滿足AO∥平面BFQ，

證明：∵F為PD的中點(diǎn)，取H為DF的中點(diǎn)，連結(jié)OH與AH，∵O是BD的中點(diǎn)，∵AO∥平面BFQ，HO∥平面BQF，可得HO∥平面BQF，∴QF∥AD，
$\frac{AQ}{QP}=\frac{HF}{PF}=\frac{1}{2}$，∴$\frac{AQ}{QP}$=$\frac{1}{2}$，Q為PA的三等分點(diǎn)
（3）連接AC，取AC中點(diǎn)O，連接EO、GO，延長GO交AD于點(diǎn)M，則PA∥平面MEG．（8分）
證明：∵E為PC的中點(diǎn)，O是AC的中點(diǎn)，
∴EO∥平面PA，（10分）
又∵EO?平面MEG，PA?平面MEG，
∴PA∥平面MEG，（11分）
在正方形ABCD中，
∵O是AC中點(diǎn)，
∴△OCG≌△OAM，
∴AM=CG=$\frac{2}{3}$，
∴所求AM的長為$\frac{2}{3}$． （12分）

點(diǎn)評 本題主要考查線面平行與垂直關(guān)系、多面體體積計(jì)算等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能、邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力和探究能力、考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．