已知函數(shù)f(x)=2sin2
π
4
+x)+
3
cos2x+a,x∈R.且f(x)在[-
π
4
,
π
4
]上的最小值是-1
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期及a的值;
(2)在△ABC中,若f(C)=
3
,2sinB=cos(A-C)-cos(A+C),求tanA的值.
考點(diǎn):三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的周期性及其求法
專題:三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)
分析:(1)首先,利用二倍角公式化簡函數(shù)解析式f(x)=2sin(2x+
π
3
)+a+1,然后借助于周期公式和三角函數(shù)的性質(zhì)求解;
(2)利用f(C)=
3
,求解C的值,然后,結(jié)合2sinB=cos(A-C)-cos(A+C),得到cosA=(1-
3
)sinA,最后,求解tanA的值.
解答: 解:(1)∵函數(shù)f(x)=2sin2
π
4
+x)+
3
cos2x+a
∴f(x)=1-cos(
π
2
+2x)+
3
cos2x+a
=sin2x+
3
cos2x+a+1,
=2sin(2x+
π
3
)+a+1,
∴f(x)=2sin(2x+
π
3
)+a+1,
∴T=
2
=π,
∴函數(shù)f(x)的最小正周期π,
∵x∈[-
π
4
,
π
4
],
∴(2x+
π
3
)∈[-
π
6
,
6
],
∴2sin(2x+
π
3
)∈[-1,2],
∴f(x)=2sin(2x+
π
3
)+a+1∈[a,3+a],
∵f(x)在[-
π
4
,
π
4
]上的最小值是-1
∴a=-1,
∴a的值-1.
(2)根據(jù)(1),f(x)=2sin(2x+
π
3
),
∴f(C)=2sin(2C+
π
3
)=
3
,
∴sin(2C+
π
3
)=
3
2
,
∴2C+
π
3
=
3
,
∴C=
π
6
,
∵2sinB=cos(A-C)-cos(A+C),
∴2sinB=2sinAsinC,
∴2sin(
6
-A)=sinA,
∴2sin(A+
π
6
)=sinA,
∴cosA=(1-
3
)sinA,
∴tanA=
sinA
cosA
=
1
1-
3
=-
1+
3
2
點(diǎn)評(píng):本題綜合考查了二倍角公式、誘導(dǎo)公式、和差化積公式等知識(shí),屬于中檔題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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已知函數(shù)f(x)=cos2x+2sinxcosx-sin2x
(Ⅰ)求f(
π
4
)的值;
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(Ⅱ)令bn=(-1)n+1(an)-
1
2
,數(shù)列{bn}的前項(xiàng)和為Tn,求證:n≥2時(shí),T2n-1<ln2且T2n>ln2.

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π
2
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(Ⅱ)若圓O在點(diǎn)P處的切線與x軸交于點(diǎn)N,試判斷直線MN與軌跡E的位置關(guān)系.

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5
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π
4
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lim
n→∞
1+2+3+…+n
n2
=
 

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如果sinα=-
2
2
3
,α為第三象限角,則sin(
2
+α)=
 

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