Question

已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當x＞0時，f（x）=e^-x（x-1），給出以下命題：
①當x＜0時，f（x）=e^x（x+1）；     
②函數(shù)f（x）有五個零點；
③對?x₁，x₂∈R，|f（x₂）-f（x₁）|＜2恒成立．
④若關(guān)于x的方程f（x）=m有解，則實數(shù)m的取值范圍是f（-2）≤m≤f（2）；
其中，正確命題的序號是

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：設x＜0，則-x＞0，由函數(shù)得性質(zhì)可得解析式，可判①的真假，再由性質(zhì)作出圖象可對其他命題逐一作出判斷．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
當x＞0時，f（x）=e^-x（x-1）
設x＜0，則-x＞0，∴-f（x）=f（-x）=e^x（-x-1），即f（x）=e^x（x+1），
故①正確；
觀察f（x）在x＜0時的圖象，對x＜0時解析式f（x）=e^x（x+1）求導數(shù)，
得，f′（x）=e^x（x+2），
令f′（x）=e^x（x+2）=0，解得x=-2，
當x∈（-∞，-2）時，f′（x）＜0，函數(shù)單調(diào)遞減，
當x∈（-2，0）時，f′（x）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增，
∵在（-∞，-1）上，f（x）＜0，在（-1，0）上，f（x）＞0，
∴f（x）在（-∞，0）上公有一個零點，
由對稱性知，f（x）在（0，+∞）上也有一個零點，
又∵f（0）=0，∴函數(shù)f（x）有3個零點，故②錯誤；
由于函數(shù)-1＜f（x）＜1，故有對?x₁，x₂∈R，|f（x₂）-f（x₁）|＜2恒成立，即③正確．
若關(guān)于x的方程f（x）=m有解，則實數(shù)m的取值范圍是-1＜m＜1，故④錯誤；
故答案為：①③．

點評：本題考查奇函數(shù)的性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合思想，由圖象作出函數(shù)的圖象是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．