Question

F（x）=sin（x+

7π

4

）+cos（x-

3π

4

），（x∈R）
（1）求F（x）的最小正周期、最小值、圖象對稱軸方程；
（2）若cos（α-β）=

4

5

，cos（α+β）=-

4

5

，0＜α＜β≤

π

2

，求F²（β）-2的值．

Answer 1

考點：運用誘導(dǎo)公式化簡求值,兩角和與差的余弦函數(shù)

專題：計算題,三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）利用兩角和與差的正弦與余弦及輔助角公式可求得F（x）=2sin（x-

π

4

），從而可求得F（x）的最小正周期、最小值、圖象對稱軸方程；
（2）易求F²（β）=4×

1-cos(2β- π 2 )

2

=2（1-sin2β）；依題意，可求得sin（α-β）=-

3

5

，sin（α+β）=

3

5

，利用兩角差的正弦可求得sin2β=sin[（α+β）-（α-β）]=0，從而可得
F²（β）-2的值．

解答： 解：（1）∵F（x）=sinxcos

7π

4

+cosxsin

7π

4

+cosxcos

3π

4

+sinxsin

3π

4

=

2

2

sinx-

2

2

cosx-

2

2

cosx+

2

2

sinx
=

2

（sinx-cosx）
=2sin（x-

π

4

），
∴F（x）的最小正周期T=2π，F(xiàn)（x）_min=-2，
由x-

π

4

=kπ-

π

2

（k∈Z）得，圖象對稱軸方程x=kπ-

π

4

（k∈Z）；
（2）∵F²（β）=4×

1-cos(2β- π 2 )

2

=2（1-sin2β）．
又cos（α-β）=

4

5

，0＜α＜β≤

π

2

，
∴-

π

2

≤α-β＜0，
∴sin（α-β）=-

3

5

，
又0＜α+β＜π，cos（α+β）=-

4

5

，
∴sin（α+β）=

3

5

，
∴sin2β=sin[（α+β）-（α-β）]
=sin（α+β）cos（α-β）-cos（α+β）sin（α-β）
=

3

5

×

4

5

-（-

4

5

）（-

3

5

）
=0，
∴F²（β）=2，
∴F²（β）-2=0．

點評：本題考查運用誘導(dǎo)公式化簡求值，考查兩角和與差的正弦與余弦及輔助角公式，考查轉(zhuǎn)化思想與綜合運算求解能力，屬于難題．