Question

給出定義：若 m-

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＜x≤m+

1

2

（其中m為整數(shù)），則m叫做離實(shí)數(shù)x最近的整數(shù)，記作{x}，即{x}=m．在此基礎(chǔ)上給出下列關(guān)于函數(shù)f（x）=x-{x}的四個(gè)命題：
①y=f（x）的定義域是R，值域是（-

1

2

，

1

2

]；
②點(diǎn)（k，0）是y=f（x）的圖象的對(duì)稱中心，其中k∈Z；
③函數(shù)y=f（x）的最小正周期為1；
④函數(shù)y=f（x）在（-

1

2

，

3

2

]上是增函數(shù)．
則上述命題中真命題的序號(hào)是（　�。�

• A、①④
• B、①③
• C、②③
• D、②④

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：新定義

分析：依據(jù)函數(shù)定義，得到f（x）=x-{x}∈（-

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2

，

1

2

]，再對(duì)四個(gè)命題逐個(gè)驗(yàn)證后，即可得到正確結(jié)論．

解答： 解：由題意知，{x}-

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2

＜x≤{x}+

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2

，則得到f（x）=x-{x}∈（-

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2

，

1

2

]，故①對(duì)；
由于k∈Z，f（k）=k-{k}=k-k=0，但由于f（x）=x-{x}∈（-

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2

，

1

2

]，故函數(shù)圖象不是中心對(duì)稱圖形，故②錯(cuò)；
由題意知函數(shù)f（x）=x-{x}∈（-

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2

，

1

2

]的最小正周期為1，故③對(duì)；
由于{x}-

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2

＜x≤{x}+

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2

則得f（x）=x-{x}為分段函數(shù)，且在(-

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，

1

2

]，(

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2

，

3

2

]上是增函數(shù)，
但在區(qū)間（-

1

2

，

3

2

]上不是增函數(shù)，故命題④錯(cuò)．
所以正確的命題為①③
故答案為：①③．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是：判斷命題的真假，我們可以根據(jù)給定函數(shù)的定義對(duì)四個(gè)結(jié)論逐一進(jìn)行判斷，本題是一道屬于難題．