【題目】在四棱錐中,平面平面, 底面為梯形, ,.
(Ⅰ)求證:平面;
(Ⅱ)求證:平面;
(Ⅲ)若是棱的中點(diǎn),求證:對(duì)于棱上任意一點(diǎn),與都不平行
【答案】(Ⅰ)見證明;(Ⅱ)見證明;(Ⅲ)見證明
【解析】
(Ⅰ)利用線面平行判定定理即可證明AB∥平面PCD.
(Ⅱ)法一:利用面面垂直的性質(zhì)即可證明AD⊥平面PCD.法二:在平面PCD中過點(diǎn)D作DH⊥CD,交PC于H,利用面面垂直的性質(zhì)可證DH⊥平面ABCD,進(jìn)而利用線面垂直的性質(zhì)可證DH⊥AD,再根據(jù)線面垂直的判定定理即可證明AD⊥平面PCD.
(Ⅲ)法一:假設(shè)存在棱BC上點(diǎn)F,使得MF∥PC,連接AC,取其中點(diǎn)N,有MN∥PC,即可證明MF與MN重合,即MF就是MC,由MC與PC相交,矛盾,即可問題得證.法二:假設(shè)存在棱BC上點(diǎn)F,使得MF∥PC,顯然F與點(diǎn)C不同,可得P,M,F,C四點(diǎn)在同一個(gè)平面α中,即B∈FCα,A∈PMα,α就是點(diǎn)A,B,C確定的平面ABCD,且P∈α,這與P﹣ABCD為四棱錐矛盾,即可得解假設(shè)錯(cuò)誤,問題得證.
(Ⅰ)因?yàn)?/span>
平面
平面
所以平面
(Ⅱ)法一:
因?yàn)槠矫?/span>平面
平面平面
,平面
所以平面
法二:
在平面中過點(diǎn)作,交于
因?yàn)槠矫?/span>平面
平面平面
平面
所以平面
因?yàn)?/span>平面
所以
又,
所以平面
(Ⅲ)法一:
假設(shè)存在棱上點(diǎn),使得
連接,取其中點(diǎn)
在中,因?yàn)?/span>分別為的中點(diǎn),所以
因?yàn)檫^直線外一點(diǎn)只有一條直線和已知直線平行,所以與重合
所以點(diǎn)在線段上,所以是,的交點(diǎn)
即就是
而與相交,矛盾,所以假設(shè)錯(cuò)誤,問題得證
法二:
假設(shè)存在棱上點(diǎn),使得,顯然與點(diǎn)不同
所以四點(diǎn)在同一個(gè)平面中
所以 ,
所以 ,
所以就是點(diǎn)確定的平面 ,且
這與為四棱錐矛盾,所以假設(shè)錯(cuò)誤,問題得證
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2020年1月10日,引發(fā)新冠肺炎疫情的COVID-9病毒基因序列公布后,科學(xué)家們便開始了病毒疫苗的研究過程.但是類似這種病毒疫苗的研制需要科學(xué)的流程,不是一朝一夕能完成的,其中有一步就是做動(dòng)物試驗(yàn).已知一個(gè)科研團(tuán)隊(duì)用小白鼠做接種試驗(yàn),檢測接種疫苗后是否出現(xiàn)抗體.試驗(yàn)設(shè)計(jì)是:每天接種一次,3天為一個(gè)接種周期.已知小白鼠接種后當(dāng)天出現(xiàn)抗體的概率為,假設(shè)每次接種后當(dāng)天是否出現(xiàn)抗體與上次接種無關(guān).
(1)求一個(gè)接種周期內(nèi)出現(xiàn)抗體次數(shù)的分布列;
(2)已知每天接種一次花費(fèi)100元,現(xiàn)有以下兩種試驗(yàn)方案:
①若在一個(gè)接種周期內(nèi)連續(xù)2次出現(xiàn)抗體即終止本周期試驗(yàn),進(jìn)行下一接種周期,試驗(yàn)持續(xù)三個(gè)接種周期,設(shè)此種試驗(yàn)方式的花費(fèi)為元;
②若在一個(gè)接種周期內(nèi)出現(xiàn)2次或3次抗體,該周期結(jié)束后終止試驗(yàn),已知試驗(yàn)至多持續(xù)三個(gè)接種周期,設(shè)此種試驗(yàn)方式的花費(fèi)為元.
比較隨機(jī)變量和的數(shù)學(xué)期望的大小.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(本小題10分)選修4—4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ=2sinθ。
(Ⅰ)把C1的參數(shù)方程化為極坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)求C1與C2交點(diǎn)的極坐標(biāo)(ρ≥0,0≤θ<2π)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】《最強(qiáng)大腦》是江蘇衛(wèi)視引進(jìn)德國節(jié)目《SuperBrain》而推出的大型科學(xué)競技真人秀節(jié)目.節(jié)目籌備組透露挑選選手的方式:不但要對(duì)空間感知、照相式記憶進(jìn)行考核,而且要讓選手經(jīng)過名校最權(quán)威的腦力測試,120分以上才有機(jī)會(huì)入圍.某重點(diǎn)高校準(zhǔn)備調(diào)查腦力測試成績是否與性別有關(guān),在該高校隨機(jī)抽取男、女學(xué)生各100名,然后對(duì)這200名學(xué)生進(jìn)行腦力測試.規(guī)定:分?jǐn)?shù)不小于120分為“入圍學(xué)生”,分?jǐn)?shù)小于120分為“未入圍學(xué)生”.已知男生入圍24人,女生未入圍80人.
(1)根據(jù)題意,填寫下面的列聯(lián)表,并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有以上的把握認(rèn)為腦力測試后是否為“入圍學(xué)生”與性別有關(guān);
性別 | 入圍人數(shù) | 未入圍人數(shù) | 總計(jì) |
男生 | 24 | ||
女生 | 80 | ||
總計(jì) |
(2)用分層抽樣的方法從“入圍學(xué)生”中隨機(jī)抽取11名學(xué)生,然后再從這11名學(xué)生中抽取3名參加某期《最強(qiáng)大腦》,設(shè)抽到的3名學(xué)生中女生的人數(shù)為,求的分布列及數(shù)學(xué)期望.
附:,其中.
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知直線l1:3x﹣y﹣1=0,l2:x+2y﹣5=0,l3:x﹣ay﹣3=0不能圍成三角形,則實(shí)數(shù)a的取值可能為( )
A.1B.C.﹣2D.﹣1
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】新冠肺炎疫情期間,為確保“停課不停學(xué)”,各校精心組織了線上教學(xué)活動(dòng).開學(xué)后,某校采用分層抽樣的方法從三個(gè)年級(jí)的學(xué)生中抽取一個(gè)容量為150的樣本進(jìn)行關(guān)于線上教學(xué)實(shí)施情況的問卷調(diào)查.已知該校高一年級(jí)共有學(xué)生660人,抽取的樣本中高二年級(jí)有50人,高三年級(jí)有45人.下表是根據(jù)抽樣調(diào)查情況得到的高二學(xué)生日睡眠時(shí)間(單位:h)的頻率分布表.
分組 | 頻數(shù) | 頻率 |
5 | 0.10 | |
8 | 0.16 | |
x | 0.14 | |
12 | y | |
10 | 0.20 | |
z | ||
合計(jì) | 50 | 1 |
(1)求該校學(xué)生總數(shù);
(2)求頻率分布表中實(shí)數(shù)x,y,z的值;
(3)已知日睡眠時(shí)間在區(qū)間[6,6.5)的5名高二學(xué)生中,有2名女生,3名男生,若從中任選2人進(jìn)行面談,則選中的2人恰好為一男一女的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)設(shè)函數(shù),當(dāng)時(shí),若是的唯一極值點(diǎn),求.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某工廠共有男女員工500人,現(xiàn)從中抽取100位員工對(duì)他們每月完成合格產(chǎn)品的件數(shù)統(tǒng)計(jì)如下:
每月完成合格產(chǎn)品的件數(shù)(單位:百件) | |||||
頻數(shù) | 10 | 45 | 35 | 6 | 4 |
男員工人數(shù) | 7 | 23 | 18 | 1 | 1 |
(1)其中每月完成合格產(chǎn)品的件數(shù)不少于3200件的員工被評(píng)為“生產(chǎn)能手”.由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填寫下面列聯(lián)表,并判斷是否有95%的把握認(rèn)為“生產(chǎn)能手”與性別有關(guān)?
非“生產(chǎn)能手” | “生產(chǎn)能手” | 合計(jì) | |
男員工 | |||
女員工 | |||
合計(jì) |
(2)為提高員工勞動(dòng)的積極性,工廠實(shí)行累進(jìn)計(jì)件工資制:規(guī)定每月完成合格產(chǎn)品的件數(shù)在定額2600件以內(nèi)的,計(jì)件單價(jià)為1元;超出件的部分,累進(jìn)計(jì)件單價(jià)為1.2元;超出件的部分,累進(jìn)計(jì)件單價(jià)為1.3元;超出400件以上的部分,累進(jìn)計(jì)件單價(jià)為1.4元.將這4段中各段的頻率視為相應(yīng)的概率,在該廠男員工中選取1人,女員工中隨機(jī)選取2人進(jìn)行工資調(diào)查,設(shè)實(shí)得計(jì)件工資(實(shí)得計(jì)件工資=定額計(jì)件工資+超定額計(jì)件工資)不少于3100元的人數(shù)為,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
附:,
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中.
(Ⅰ)求的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)設(shè),若曲線,有公共點(diǎn),且在點(diǎn)處的切線相同,求的最大值.
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