Question

6．二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），已知f′（0）＞0，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x，有f（x）≥0，則$\frac{f（1）}{f′（0）}$的最小值為2．

Answer 1

分析 先根據(jù)題目的條件建立關(guān)于a、b、c的關(guān)系式，再結(jié)合基本不等式求出最小即可，注意等號(hào)成立的條件．

解答 解：∵f（x）=ax²+bx+c
∴f′（x）=2ax+b，f′（0）=b＞0
∵對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有f（x）≥0
∴a＞0，c＞0，b²-4ac≤0，即$\frac{4ac}{^{2}}$≥1，
∴$\frac{f（1）}{f′（0）}$=$\frac{a+b+c}$=1+$\frac{a}$+$\frac{c}$≥1+2$\sqrt{\frac{ac}{^{2}}}$≥1+2$\sqrt{\frac{1}{4}}$=2，當(dāng)且僅當(dāng)b=2a時(shí)，取等號(hào)，
∴$\frac{f（1）}{f′（0）}$的最小值為2．
故答案為：2．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，以及函數(shù)的最值及其幾何意義和不等式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．