Question

已知函數(shù)f（x）=ln（2x+3）+x²
（1）討論f（x）的單調(diào)性；
（2）求f（x）=ln（2x+3）+x²在區(qū)間[-

3

4

，

1

4

]上的最大值與最小值..

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）首先求出f′（x），然后求出f'（x）＞0時(shí)x的范圍，以及f'（x）＜0時(shí)x的范圍，討論f（x）的單調(diào)性即可；
（2）分別求出f（x））=ln（2x+3）+x²在區(qū)間[-

3

4

，

1

4

]上的極值和區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)，比較大小，即可求出函數(shù)的最大值和最小值．

解答： 解：（1）由f（x）=ln（2x+3）+x²，可得
f′(x)=

2(2x+1)(x+1)

2x+3

，
所以當(dāng)-

3

2

＜x＜-1時(shí)，f'（x）＞0；
當(dāng)-1＜x＜-

1

2

時(shí)，f'（x）＜0；
當(dāng)x＞-

1

2

時(shí)，f'（x）＞0．
從而，f（x）在區(qū)間（-

3

2

，-1），（-

1

2

，+∞）單調(diào)增加，在區(qū)間（-1，-

1

2

）單調(diào)遞減；
（2）由（1）可知函數(shù)在x=-

1

2

處取極值，
而f（-

3

4

）=ln

3

2

+

9

16

，f（-1）=1，f（-

1

2

）=ln2+

1

4

，f（

1

4

）=ln

7

2

+

1

16

，
所以f（x）=ln（2x+3）+x²在區(qū)間[-

3

4

，

1

4

]上的最大值是ln

7

2

+

1

16

，最小值是ln2+

1

4

．

點(diǎn)評：此題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值問題，考查了分類討論思想的應(yīng)用，屬于中檔題．