Question

已知定點(diǎn)F（0，1）和直線l₁：y=-1，過(guò)定點(diǎn)F與直線l₁相切的動(dòng)圓圓心為點(diǎn)C．
（1）求動(dòng)點(diǎn)C的軌跡方程；
（2）過(guò)點(diǎn)F的直線l₂交動(dòng)點(diǎn)C的軌跡于兩點(diǎn)P、Q，交直線l₁于點(diǎn)R，求

RP

•

RQ

的最小值；
（3）過(guò)點(diǎn)F且與l₂垂直的直線l₃交動(dòng)點(diǎn)C的軌跡于兩點(diǎn)R、T，問(wèn)四邊形PRQT的面積是否存在最小值？若存在，求出這個(gè)最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專(zhuān)題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出點(diǎn)C的軌跡是以F為焦點(diǎn)，l₁為準(zhǔn)線的拋物線，由此能求出動(dòng)點(diǎn)C的軌跡方程．
（2）設(shè)l₂：y=kx+1，由

y=kx+1 x2=4y

，得x²-4kx-4=0，設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則

x1+y2=4k x1x2=-4

，由直線PQ的斜率k≠0，得R（-

2

k

，-1），由此能求出

RP

•

RQ

的最小值．
（3）由

y=kx+1 x2=4y

，得y²-（4k²+2）y+1=0，所以PQ=y1+y1+2=4k2+4，同理可得：RT=

4

k2

+4，由此能求出四邊形PRQT的面積存在最小值32．

解答： 解：（1）∵定點(diǎn)F（0，1）和直線l₁：y=-1，過(guò)定點(diǎn)F與直線l₁相切的動(dòng)圓圓心為點(diǎn)C，
∴點(diǎn)C的軌跡是以F為焦點(diǎn)，l₁為準(zhǔn)線的拋物線，
∴動(dòng)點(diǎn)C的軌跡方程為x²=4y．
（2）設(shè)l₂：y=kx+1，
由

y=kx+1 x2=4y

，得x²-4kx-4=0，
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則

x1+y2=4k x1x2=-4

，
由直線PQ的斜率k≠0，得R（-

2

k

，-1），
∴

RP

•

RQ

=（x1+

2

k

，y1+1）•（x₂+

2

k

，y₂+1）
=(x1+

2

k

)(x2+

2

k

)+(kx1+2)(kx2+2)
=(1+k2)x1x2+(

2

k

+2k)(x1+x2)+

4

k2

+4
=-4(1+k2)+4k(

2

k

+2k)+

4

k2

+4
=4(

1

k2

+k2)+8，
∵

1

k2

+k2≥2，當(dāng)且僅法k²=1取等號(hào)．
∴

RP

•

RQ

≥8+8=16．
∴

RP

•

RQ

的最小值是16．
（3）由

y=kx+1 x2=4y

，得y²-（4k²+2）y+1=0，
∴PQ=y1+y1+2=4k2+4，
設(shè)l3：y=-

1

k

x+1，代入x²=4y，
同理可得：RT=

4

k2

+4，
∴S_PRQT=

1

2

•PQ•RT=8(k2+1)(

1

k2

+1)
=8（k2+

1

k2

+2）≥32．
當(dāng)且僅當(dāng)k²=1時(shí)取等號(hào)，
∴四邊形PRQT的面積存在最小值32．

點(diǎn)評(píng)：本題考查點(diǎn)的軌跡方程的求法，考查向量的數(shù)量積的最小值的求法，考查四邊形面積是否有最小值的判斷與求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意均值定理的合理運(yùn)用．