Question

f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x＜0時，f（x）+x•f′（x）＜0，且f（-4）=0，則不等式xf（x）＞0的解集為

 

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Answer 1

考點：導(dǎo)數(shù)的運算

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)y=xf（x）在（-∞，0）上是減函數(shù)，函數(shù)y=xf（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，且可得f（4）=f（-4）=0，從而求得不等式xf（x）＞0的解集．

解答： 解：∵當(dāng)x＜0時，f（x）+x•f′（x）＜0，
即[xf（x）]′＜0，
故函數(shù)y=xf（x）在（-∞，0）上是減函數(shù)．
再根據(jù)f（x）為偶函數(shù)，可得函數(shù)y=xf（x）是奇函數(shù)
且在（0，+∞）上是減函數(shù)．
故由f（-4）=0，可得f（4）=0，如圖所示：
故不等式xf（x）＞0的解集為{x|x＜-4，或0＜x＜4}，
故答案為：{x|x＜-4，或0＜x＜4}．

點評：本題主要考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．